Kakutanin kiinteän pisteen lause

Kakutanin kiintopistelause on Brouwerin kiintopistelauseen yleistys moniarvoisiin funktioihin.

Sanamuoto

Olkoon euklidisen avaruuden ei- tyhjä kompakti kupera osajoukko . Antaa olla moniarvoinen funktio , niin että joukko on ei-tyhjä ja kupera kaikille , ja sillä on suljettu graafi, eli joukko $S$ $\phi \colon S\to 2^{S}$ $S$ $\phi (x)\subset S$ $x\in S$

{\displaystyle \{\,(x,y)\in S\times S\mid \,y\in \phi (x)\))

on suljettu suorassa tuotetopologiassa . Sitten on kiinteä piste , eli on olemassa sellainen piste , että . $S\times S$ $\phi(x)$ $x\in S$ $x\in \phi (x)$

Huomautus

Seuraava esimerkki osoittaa, että vaatimus, jonka mukaan joukot ovat kuperia, on olennainen. $\phi(x)$

Kiinnitetään riittävän pieni positiivinen luku ja tarkastellaan funktiota $\varepsilon$

\varphi (x)=\{\,y\in [0,1]\mid |xy|\geq \varepsilon \,\},

määritelty segmentissä . Huomaa, että joukko ei ole kupera eikä tällä funktiolla ole kiinteää pistettä, vaikka se täyttää kaikki muut lauseen vaatimukset. $[0,1]$ $\phi ({\tfrac {1}{2)))$

Tietoja todisteista

Kakutanin lause voidaan pelkistää Brouwerin lauseeksi approksimaatiolla .

Kakutanin lause voidaan johtaa Spernerin lemasta samalla tavalla kuin Brouwerin lause.

Historia

Shizuo Kakutani todisti lauseen vuonna 1941 [1] todistaakseen minimax-lauseen antagonistisessa pelissä .

John Nash käytti sitä todistaakseen Nashin tasapainon olemassaolon kuuluisassa kaksisivuisessa paperissa [2] , joka voitti hänelle taloustieteen Nobelin .

Muistiinpanot

↑ Kakutani, Shizuo . Brouwerin kiintopistelauseen yleistys (epämääräinen) // Duke Mathematical Journal. - 1941. - T. 8 , nro 3 . - S. 457-459 . - doi : 10.1215/S0012-7094-41-00838-4 .
↑ Nash, JF, Jr. Tasapainopisteet N-Person Gamesissa (englanniksi) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United of America : Journal. - 1950. - Voi. 36 , ei. 1 . - s. 48-49 . - doi : 10.1073/pnas.36.1.48 . — PMID 16588946 .

Linkit

Vorobjov N.N. Peliteorian perusteet. ei-yhteistyöpelejä. - M.: Nauka , 1984.
Savvateev A.V. Peliteorian peruslauseet // Kaikkien instituuttien seminaari "MIANin kollokviumi" 4. joulukuuta 2014 klo 16.00, Moskova, MIANin konferenssisali (Gubkina-katu, 8).