Lagrangen lause neljän neliön summasta

Lagrangen neljän neliön lause sanoo, että

mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää neljän kokonaisluvun neliön summana .

Lauseen todistus tarjoaa algoritmin, jonka avulla voit löytää tällaisen esityksen luvulle käyttämällä aritmeettisia operaatioita [1] , jossa — " o " on suuri . $N$ $O(N^{2}\log _{2}{N})$ $O$

Toinen todistuksen versio perustuu kvaternionien algebrallisten ominaisuuksien käyttöön [2] .

Lause on ratkaisu Waringin asteen ongelmaan . Koska muodon numeroita, joissa ei esitetä kolmen neliön summana kolmen neliön Legendren lauseen mukaisesti [3] , Lagrange-lause antaa toisen Hardyn funktion tunnetuista arvoista . $n = 2$ $4^{m}(8n+7),$ ${\overline {m,n}}={\overline {0,1,2,\;\ldots )),$ $G(2) = 4$

Esimerkkejä

${\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2};\\31&=5^{2}+2^{2} +1^{2}+1^{2};\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2};\\9&=3^{2} +0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}$

Historia

Lauseen väite ilmestyi ensimmäisen kerran Diophantuksen aritmetiikassa , jonka Basche käänsi latinaksi vuonna 1621 . Tärkeän lemman lauseelle , että neljän neliön summien tulo on neljän neliön summa, osoitti Euler , joka oli lähellä itse Lagrangen lauseen todistetta [3] ja teki paljon henkilökohtaisesti Lagrangen hyväksi . Lagrange oli kuitenkin Euleria edellä ja osoitti lauseen vuonna 1770 .

Muistiinpanot

↑ Tikhomirov V. M. Luku 4. Lagrange ja hänen neljän neliön lause // Menneisyyden suuret matemaatikot ja heidän suuret lauseensa . — 2. painos, korjattu. - MTSNMO , 2003. - T. 1. - 16 s. - ( Kirjasto "Matemaattinen koulutus" ). — ISBN 5-94057-110-7 . Arkistoitu 8. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ Drozd Yu. A. Neljän neliön lause // Mathematics Today / Toim. A. Ya. Dorogovtsev . - K . : Vishcha shkola, 1982. - S. 88-93.
↑ 1 2 Nykyaikaiset matematiikan ongelmat: Venäjän tiedeakatemian Steklovin matemaattisen instituutin vertaisarvioitu painos. - 2008. - Numero 11. - S. 22.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)