Levyn lause monotonisesta konvergenssista

Monotoninen konvergenssilause ( Beppo Levyn teoreema ) on Lebesguen integraatioteorian teoreema , jolla on perustavanlaatuinen merkitys funktionaalisessa analyysissä ja todennäköisyysteoriassa , missä se toimii työkaluna monien väitteiden todistamiseen. Antaa yhden ehdoista , joilla on mahdollista siirtyä Lebesguen integraalin [1] etumerkillä olevaan rajaan , lause sallii meidän todistaa integroitavan rajan olemassaolon joillekin rajoitetuille funktionaalisille jonoille.

Erilaisia formulaatioita funktionaalisesta analyysistä

Seuraavassa tarkoittaa integroitavien funktioiden tilaa mittaavaruudessa . Mitan ei pitäisi olla rajallinen. Kaikille alla oleville integraaleille integrointialue on koko tila . $L_{1}(X,\mu )$ ${\näyttötyyli (X,\mu )}$ $X$

Levin lause (integroitavien funktioiden monotonirajasta). Olkoon monotonisesti ei-pienenevä funktiosarja, joka on integroitavissa kohtaan , ts. $f_{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)

kaikille ja .

n\in {\mathbb {N}}

x\in X

Jos niiden integraalit on rajattu yhteen:

\int f_{n}(x)d\mu \leqslant K

Sitten:

lähes kaikkialla on rajallinen raja (eli funktiot konvergoivat pisteittäin johonkin funktioon melkein kaikkialla ); $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)$ $f_{n}(x)$ $f(x)$ $X$
raja-funktio on integroitavissa , eli ; $f(x)$ $X$ $f\in L_{1}(X,\mu )$
funktiot konvergoivat funktioon keskimäärin eli avaruusnormin mukaan ; $f_{n}(x)$ $f(x)$ $L_{1}(X,\mu )$
viedään kulku integraalimerkin alla olevaan rajaan:

\int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu

Toinen Levyn lauseen muoto viittaa ei-negatiivisten sarjojen termikohtaiseen integrointiin:

Levyn lause (ei-negatiivisten sarjojen termikohtaisesta integroinnista). Antaa olla ei-negatiiviset funktiot integroitavissa . Jos sarjan osittaissummien integraalit rajataan yhteenlaskettuna $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

\int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C

sitten

sarja konvergoi lähes kaikkialla äärelliseen arvoon; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
sarjan summa on integroitava funktio; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
sarjan osasummien jono konvergoi sen summaan avaruusnormissa ; $L_{1}(X,\mu )$
funktionaalisten sarjojen jaksoittainen integrointi on sallittua:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

Lauseen ensimmäinen ja toinen muoto siirtyvät toisiinsa, kun , tai . Toinen muoto mahdollistaa kuitenkin seuraavan laajennuksen funktionaalisten sarjojen, ei välttämättä vakiomerkkisten, integrointiin: $f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)$ $\varphi _{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$

Levin lause (funktionaalisten sarjojen termikohtaisesta integroinnista). Antaa olla funktioita integroitavissa . Jos sarja lähentyy $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $X$

\sum _{k=1}^{\infty }\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty

sitten

sarja konvergoi lähes kaikkialla äärelliseen arvoon; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
sarjan summa on integroitava funktio; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
sarjan osasummien jono konvergoi sen summaan avaruusnormissa ; $L_{1}(X,\mu )$
funktionaalisten sarjojen jaksoittainen integrointi on sallittua:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

Saadakseen Lévyn lauseen tässä muodossa, on sovellettava Lebesguen pääkonvergenssilausetta, koska sarjan osasummat sallivat integroitavan majorantin :

\left|\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)\right|\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\varphi _{ k}(x)|=\varphi(x)

Formulaatio todennäköisyysteoriasta

Koska satunnaismuuttujan matemaattinen odotus määritellään sen Lebesgue-integraaliksi alkeistulosten avaruudessa , edellä oleva lause siirretään todennäköisyysteoriaan . Olkoon monotoninen ei-negatiivisten a.s. integroitavia satunnaismuuttujia. Sitten $\Omega$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$

{\mathbb {E}}\left[\lim \limits _{{n\to \infty }}X_{n}\right]=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb { E}}X_{n}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Eli se antaa ehdon, jossa funktionaalisen sekvenssin konvergenssista summattavaan rajaan seuraa integraalien konvergenssi ja yhtäläisyys . $f_{n}(x)\nuoli oikealle f(x)$ $\lim _{{n\to \infty }}\int f_{n}(x)dx=\int f(x)dx$

Kirjallisuus