Mergelyanin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Mergelyanin lause on väite yhtenäisen approksimoinnin mahdollisuudesta kompleksisen muuttujan funktioiden polynomeilla ; Neuvostoliiton matemaatikko Sergei Mergelyan todisti vuonna 1951 .

Lauseen mukaan mikä tahansa jatkuva funktio kompaktissa joukossa , jonka komplementti on yhdistetty kompleksitasoon (eli yhdistetty), joka on holomorfinen sisäpisteissä , voidaan yhdenmukaisesti approksimoida polynomeilla . $f\colon K\to \mathbb {C}$ $K$ $\mathbb {C} \setminus K$ $K$

Lause on Weierstrassin ja Rungen lauseiden kehitys ja yleistys , ja sitä käytetään laajasti monimutkaisen analyysin eri aloilla ; tämä tulos kruunasi suuren sarjan julkaisuja lähentämisen teoriasta monimutkaisessa tapauksessa. Erityisesti vuonna 1936 Lavrentiev osoitti väitteen tapaukselle, jossa sillä ei ole sisäisiä pisteitä, ja vuonna 1945 Keldysh loi tuloksen tapaukselle, jossa on suljettu alue , jolla on yhdistetty komplementti. $K$ $K$

Mergelyanin käyttämä todistusmenetelmä on rakentava , ja se on edelleen ainoa tunnettu rakentava todistus tuloksesta.

Kirjallisuus

Mergelyanin lause - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . E. M. Chirka
S. N. Mergelyan. Kompleksisen muuttujan funktioiden yhtenäiset approksimaatiot // Uspekhi Mat. - T. 7 , nro 2 (48) . - S. 31-122 .
Lennart Carleson. Mergelyanin lause yhtenäisestä polynomin approksimaatiosta // Math . Scand. - 1964. - Voi. 15 .
Dieter Gaier. Luennot kompleksisesta approksimaatiosta. - Boston: Birkhäuser, 1987. - ISBN 0-8176-3147-X .
W. Rudin. Todellinen ja monimutkainen analyysi. N.Y .: McGraw - Hill. — ISBN 0-07-054234-1 .
A. G. Vitushkin . Joukkojen analyyttinen kapasiteetti approksimaatioteorian ongelmissa // Uspekhi Mat . - 1967. - T. 22 , nro 6 (138) .
A. G. Vitushkin. Puoli vuosisataa kuin yksi päivä // UMN. - 2002. - T. 57 , nro 1 (353) .