Moreran lause

Moreran lause on Cauchyn integraalilauseen käänne (epätäydellinen) ja yksi kompleksisen muuttujan funktioteorian peruslauseista . Se voidaan muotoilla näin:

Jos alueella olevan kompleksisen muuttujan funktio on jatkuva ja sen integraali minkä tahansa suljetun tasasuuntautuvan ääriviivan yli on yhtä suuri kuin nolla, se on $f(z)$ $z$ $D$ $\Gamma \subset D$

\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,

sitten on analyyttinen funktio . $f(z)$ $D$

Lauseen ehtoa voidaan heikentää rajoittumalla siihen vaatimukseen, että minkä tahansa alueelle kuuluvan kolmion rajalta otetut integraalit katoavat . $D$

Todistuksen idea

Todistus perustuu siihen tosiasiaan, että lauseen ehdot täyttävällä funktiolla on antiderivaata sisällä , eli on olemassa funktio , joka täyttää lauseen ehdot. $D$ $F(z)$

{\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).

Mutta kerran kompleksisesti differentioituva funktio on analyyttinen, joten sen derivaatta on myös analyyttinen. $f$

Sovellus

Moreran lause on tärkein tapa todistaa jonkin monimutkaisesti määritellyn funktion analyyttisyys. Yksi keskeisistä väitteistä tässä on, että jos analyyttisten funktioiden sarja konvergoi tasaisesti funktioon , niin $f_n$ $f$

\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0 ,

siksi Moreran lauseen mukaan rajafunktio on myös holomorfinen. Siten monien sarjan ja integraalien määrittelemien funktioiden holomorfia on todistettu, esimerkiksi Riemannin zeta-funktio

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))))

ja Eulerin gammafunktiot

\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.

Moreran lausetta käytetään myös todistamaan symmetriaperiaatteelle rakennetun funktion analyyttisyys .

Historia

Tämän lauseen hankki italialainen matemaatikko Giacinto Morera vuonna 1886 .

Kirjallisuus

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. — M .: Nauka . - 1969, 577 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Morera's Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .