Osoittamisen lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. maaliskuuta 2018 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Poyntingin lause on lause , joka kuvaa energian säilymisen lakia sähkömagneettisessa kentässä . Lauseen todisti vuonna 1884 John Henry Poynting . Kaikki tiivistyy seuraavaan kaavaan:

{\frac {\partial u}{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,

missä on energiatiheys : ; $u$ $u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\ mu _{0}}}\oikea)$

\varepsilon_{0}

- sähkövakio , - magneettinen vakio ;

\mu_{0}

\nabla

— nabla-operaattori ; S on Poynting-vektori ; J on virrantiheys ja E on sähkökentän voimakkuus .

Osoittamisen lause integraalimuodossa :

{\frac {\partial }{\partial t))\int _{V}u\ dV+\oint _({\partial V)){\mathbf {S))\ d{\mathbf {A))=- \int _{V}{\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}\ dV

missä on tilavuutta rajoittava pinta . $\osittainen V$ $V$

Teknisessä kirjallisuudessa lause kirjoitetaan yleensä seuraavasti ( - energiatiheydet): $u$

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0

missä on sähkökentän energiatiheys , on magneettikentän energiatiheys ja Joule-häviöiden teho tilavuusyksikköä kohti. $\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}$ ${\frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}$ ${\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}$

Johtopäätös

Lause voidaan johtaa käyttämällä kahta Maxwell-yhtälöä (yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että väliaine on tyhjiö (μ=1, ε=1); yleisessä tapauksessa mielivaltaisen väliaineen kohdalla on välttämätöntä määrittää ε ja μ kummallekin ε 0 ja μ 0 kaavoissa) :

\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan luvulla , saadaan: $\mathbf {B}$

{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=-{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Harkitse ensin Maxwell-Ampere-yhtälöä:

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\osittainen t}}.

Kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan luvulla , saadaan: $\mathbf {E}$

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})={\mathbf {E}}\cdot \mu _{0}{\mathbf {J}}+{\mathbf { E}}\cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}.

Vähentämällä ensimmäinen toisesta, saamme:

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})-{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=\mu _{ 0}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf { E}}}{\partial t}}+{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Lopuksi:

-\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\ mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} } {\osittainen t)).

Koska Poynting-vektori määritellään seuraavasti: $\mathbf {S}$

{\mathbf {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}

tämä vastaa:

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0.

Yleistys

Yllä olevan lauseen mekaaninen energia

{\frac {\partial }{\partial t))u_{m}({\mathbf {r)),t)+\nabla \cdot {\mathbf {S))_{m}({\mathbf {r ) )),t)={\mathbf {J}}({\mathbf {r}},t)\cdot {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t),

missä u_m on järjestelmän tiheyden kineettinen energia. Sitä voidaan kuvata hiukkasten kineettisen energian α summana

u_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\piste {r}}_{ {\alpha }}^{2}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)),

${\mathbf {S_{m))}$ - energiavirta tai "mekaaninen Poynting-vektori":

{\mathbf {S}}_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\ piste {r}}_{{\alpha }}^{2}{\piste {{\mathbf {r}}}}_{{\alpha }}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)).

Energian jatkuvuuden yhtälö tai energian säilymislaki

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left({\mathbf {S}}_{e}+{\ mathbf {S}}_{m}\right)=0,

Vaihtoehtoiset lomakkeet

Poyntingin lauseesta voidaan saada muita muotoja. Vuovektorin sijaan voidaan valita Abrahamin muoto, Minkowskin muoto tai jokin muu. ${\mathbf {S}}\propto {\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}$ ${\mathbf {E}}\kertaa {\mathbf {H}}$ ${\mathbf {D}}\times {\mathbf {B}}$