Hellyn lause

Hellyn lause on kombinatorisen geometrian ja konveksin analyysin klassinen tulos . Lause antaa konveksien joukkojen perheelle ehdon, joka takaa, että tällä perheellä on ei-tyhjä leikkauspiste.

Formulaatiot

Rajalliset perheet

Teeskennetäänpä sitä

X_{1},X_{2},\pisteet ,X_{n}

on äärellinen perhe euklidisen avaruuden kuperia osajoukkoja siten, että minkä tahansa niistä leikkauspiste on ei-tyhjä. $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$

Silloin kaikkien tämän perheen osajoukkojen leikkauspiste on ei-tyhjä, eli

\bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset

. [yksi]

Äärettömät perheet

Äärettömälle perheelle meidän on lisäksi vaadittava tiiviyttä:

Olkoon mielivaltainen kupera kompaktien osajoukkojen perhe niin, että minkä tahansa niistä leikkauspiste on ei-tyhjä. Tällöin kaikkien tämän perheen osajoukkojen leikkauspiste on ei-tyhjä. $\{X_{\alpha }}\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $d+1$

Seuraukset

Youngin lause: Olkoon -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa äärellinen joukko pisteitä siten, että kaikki pisteet kohteesta voidaan peittää yksikköpallolla. Sitten koko sarja voidaan peittää yksikköpallolla. $S$ $d$ $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$ $S$ $S$
Youngin säde: Antaa olla joukko pisteitä -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa , jonka halkaisija on . Sitten on olemassa -ulotteinen suljettu pallo , jonka säde on sellainen, että . Jos joukko ei kuulu mihinkään pienempään palloon, se sisältää kärjet - simplexin kunkin reunan pituudella . [2] $X$ $d$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $\mathrm {halkaisija} \,X\leqslant 2$ $d$ $B^{d}(r)$ $r={\sqrt {2d/(d+1)))$ $X\subset B^{d}(r)$ $X$ $X$ $d$ $2$
Kirschbrownin lause

Muunnelmia ja yleistyksiä

Antaa olla Hilbert- avaruus (ei välttämättä erotettavissa ) ja olla suljettujen rajoittuneiden konveksien osajoukkojen perhe . Jos mielivaltaisen äärellisen alaperheen leikkauspiste on ei-tyhjä, se on myös ei-tyhjä. $H$ $X_{\alpha }$ $H$ $X_{\alpha }$ ${\displaystyle \cap _{\alpha }X_{\alpha ))$

Historia

Lauseen todisti Eduard Helly vuonna 1913, josta hän kertoi Radonille , hän julkaisi sen vasta vuonna 1923 [3] , Radonin [4] ja Königin [5] julkaisujen jälkeen .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Shikin E. V. Lineaariset avaruudet ja kartoitukset. - M., Moskovan valtionyliopisto , 1987. - c. 177
↑ Shikin E. V. Lineaariset avaruudet ja kartoitukset. - M., Moskovan valtionyliopisto , 1987. - s. 293
↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (pääsemätön linkki) , - Jber. Deutsch. Matematiikka. Verinig. 32 (1923), 175-176.
↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (pääsemätön linkki) , - Math. Ann. 83 (1921), 113-115.
↑ D. König Über konvexe Körper, - Math. Z. 14 (1922), 208-220.

Kirjallisuus

Danzer L., Grünbaum B. , Klee W. Hellyn lause ja sen sovellukset. - M .: Mir, 1968. - 159 s.