Erdős-Kacin lause

Erdős-Kacin lause on lukuteorian lause, joka yhdistää suurten lukujen eri alkujakajien lukumäärän jakauman todennäköisyysteorian rajalakien kaavoihin . Tämä lukuteorian tulos , jonka Pal Erdős ja Mark Katz saivat vuonna 1940, sanoo, että jos on luvun eri alkujakajien lukumäärä , niin suuren rajajakauma $\omega(n)$ $n$

{\displaystyle {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n))))

on normaali normaalijakauma . Tämä on syvä yleistys Hardy-Ramanujan-lauseesta , jonka mukaan "keskiarvo" on , ja "keskipoikkeama" on enintään . $\omega(n)$ $\log \log n$ ${\sqrt {\log \log n))$

Lause

Muodollisemmin lause sanoo, että jokaiselle kiinteälle , meillä on: $a<b$

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{x}}\left|\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n))}\leq b\right\}\right|=\Phi (a,b)

missä

\Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\ ,dt.

Alkuperäinen todiste

Alkuperäisessä todistuksessa [1] väite jakauman normaalista lauseen ensimmäisessä lemassa perustuu siihen, että funktio on additiivinen ja se voidaan esittää alkujaollisuusindikaattoreiden summana . Edelleen, esittämättä satunnaismuuttujan käsitettä, kirjoittajat väittävät, että indikaattoritermit ovat riippumattomia [2] . Sitten yksityiskohtiin menemättä kirjoittajat viittaavat lähteeseen [3] , jossa jakauman normaalisuus on todistettu heikosti riippuvaisten satunnaismuuttujien summille [4] . Todistuksen lopussa kirjoittajat pyytävät anteeksi "tilastollisen" [5] lemman pinnallisuutta. $\omega(n)$

Vuonna 1958 Alfred Renyi ja Pal Turan antoivat tarkemman todisteen.

Ominaisuudet

Lause koskee determinististen muuttujien jakaumaa , ei satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumaa . Mutta jos satunnaisluku valitaan riittävän suurelle luonnollisten lukujen segmentille , niin tämän luvun eri alkujakajien lukumäärällä on suunnilleen normaalijakauma matemaattisella odotuksella ja varianssilla, joka on yhtä suuri kuin välin keskiarvo . Koska tämä iteroiduksi logaritmiksi kutsuttu funktio kasvaa hitaasti, tällainen keskiarvo ei johda suureen virheeseen edes hyvin pitkillä aikaväleillä. Jakauman tyyppi yhdistää Erdős-Kacin lauseen keskusrajalauseeseen . $n$ $\log \log n$

Iteroidun logaritmin kasvunopeus

Iteroitu logaritmi on erittäin hitaasti kasvava funktio. Erityisesti luvut miljardiin asti sisältävät keskimäärin kolme alkulukua jaoteltuna alkuluvuiksi.

Esimerkiksi 1 000 000 003 = 23 × 307 × 141 623 .

n	Merkkien lukumäärä n :ssä	Laajennuksessa olevien alkulukujen keskimääräinen lukumäärä	keskimääräinen poikkeama
1000	neljä	2	1.4
1 000 000 000	kymmenen	3	1.7
1,000,000,000,000,000,000,000,000	25	neljä	2
10 65	66	5	2.2
10 9566	9567	kymmenen	3.2
10 210 704 568	210 704 569	kaksikymmentä	4.5
10 10 22	10 22 +1	viisikymmentä	7.1
10 10 44	10 44 +1	100	kymmenen
10 10 434	10 434 +1	1000	31.6

Jos täytät Maan kokoisen pallon hiekalla, tarvitset noin 10 33 hiekanjyvää. Maailmankaikkeuden näkyvän osan täyttämiseen tarvittaisiin 1093 hiekanjyvää. Sinne mahtuu myös 10 185 kvanttimerkkijonoa .

Tämän kokoiset luvut - 186 numerolla - koostuvat keskimäärin vain 6 alkuluvusta hajotuksessa.

Muistiinpanot

↑ Paul Erdős , Mark Kac. Gaussin virhelaki additiivisten lukuteoreettisten funktioiden teoriassa // American Journal of Mathematics. - 1940. - T. 62 , nro 1/4 . - S. 738-742 . Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2014. (MR2, 42c; Zentralblatt 24, 102
↑ Jos luku on jaollinen luvulla , se ei ole jaollinen alkuluvulla . Tämä tarkoittaa, että jos useat indikaattorit saavat arvon 1, niin loput indikaattorit ovat yhtä kuin 0. Indikaattorit ovat heikosti riippuvaisia toisistaan ja lisäksi niillä on erilaiset jakautumat. $n$ $m$ $p>{\frac {n}{m))$
↑ Ks. esimerkiksi ensimmäinen luku S. Bernsteinin paperista "Sur I'extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quantites dependantes", Mathematische Annalen, voi. 97, s. 1-59.
↑ Termien keskinäinen riippuvuus on ilmeisesti oletettu, mutta sitä ei ole määritelty.
↑ Tekijöiden lainaukset.

Linkit

Weisstein, Eric W. Erdős–Kac Lause (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Timothy Gowers: Matematiikan merkitys (osa 6, 4 minuuttia) ja (osa 7)