Käänteisfunktion lause

Käänteisfunktiolause antaa riittävät ehdot käänteisfunktion olemassaololle pisteen läheisyydessä funktion itsensä derivaattaina .

Lause yleistyy vektorifunktioihin . Käänteisfunktioteoreemasta on myös muunnelmia holomorfisille funktioille , tasaisille monistojen välisille mappauksille , tasaisille funktioille Banach-avaruuksien välillä .

Formulaatiot

Reaaliarvoinen funktio

Yhden muuttujan funktiolle lause sanoo, että jos on jatkuvasti differentioituva funktio, jonka pisteessä on nollasta poikkeava derivaatta , niin se on käännettävä . Lisäksi käänteisfunktio on jatkuvasti differentioituva, ja $f$ $a$ $f$ $a$

{\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(f(a))={\frac {1}{f'(a))).

Useiden muuttujien funktiot

Jos avaruuden avoimesta osajoukosta avaruuteen vaikuttavan jatkuvasti differentioituvan funktion Jacobilainen matriisi on käännettävä jossakin pisteessä , niin itse funktio on käännettävä naapurustossa . $F$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $s$ $F$ $s$

Muistiinpanot

Lauseen toinen osa seuraa funktioiden koostumuksen eriyttämissääntöä .
Käänteisen funktion olemassaolo vastaa sanomista, että yhtälöjärjestelmällä voi olla ratkaisu annetulle , olettaen, että ja sijaitsevat pienissä lähiöissä ja . $F$ $n$ $y_{i}=F_{i}(x_{1},\pisteet ,x_{n})$ $x_{1},\pisteet ,x_{n}$ $y_{1},\dots ,y_{n}$ $x$ $y$ $s$ $F(p)$

Esimerkki

Harkitse vektorifunktiota $F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

\mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y}\\{e^{x}{\cdot }\sin y} \\\end{bmatrix}}.

Jacobian matriisilla on muoto $F$

J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}{\cdot }\cos y},&{-e^{x}{\cdot }\sin y} \\{e^{x}{\cdot }\sin y},&{e^{x}{\cdot }\cos y}\\\end{bmatrix)).

Sen määräävä tekijä on :

\det[J_{F}(x,y)]=e^{2x}{\cdot }\cos ^{2}y+e^{2x}{\cdot }\sin ^{2}y =e^{2x}.

Huomaa, että milloin tahansa Lauseen mukaan jokaiselle pisteelle on naapuri, joka on käännettävä. $e^{2x}\neq 0$ $p\in \mathbb {R} ^{2}$ $F$

Huomaa kuitenkin, että se on peruuttamaton koko verkkotunnuksessa. Todella, $F$ $F(x,y)=F(x,y+2\pi )$

mille tahansa . Erityisesti ei ole injektiivinen

(x,y)

F

Muunnelmia ja yleistyksiä

Äärettömän ulottuvuuden tapaus

Äärettömän ulottuvuuden tapauksessa on lisäksi vaadittava, että Fréchet-derivaatailla pisteessä on rajoitettu käänteisoperaattori. $s$

Lajikkeet

Käänteisfunktion lause yleistyy tasaisiksi kuvauksiksi tasaisten monistojen välillä . Olkoon tasainen kartoitus tasaisten jakoputkien välillä . Oletetaan, että ero $F\colon M\to N$

d_{p}F\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N

pisteessä on lineaarinen isomorfismi . (Erityisesti .) Sitten on olemassa sellainen avoin naapurusto , että $s$ $\dim M=\dim N$ $U\ni p$

F|_{U}\colon U\to F(U)

on diffeomorfismi .

Banach välilyönnit

Olkoon Banach-tilat ja ole avoin naapurusto . Oletetaan, että kartoitus on jatkuvasti differentioituva ja sen differentiaali on rajoitettu lineaarinen isomorfismi . Sitten on avoin naapurusto ja jatkuvasti differentioituva kartoitus siten, että for all in . $X$ $Y$ $U$ $0\in X$ $F\colon U\to Y$ $d_{0}F\colon X\to Y$ $X\to Y$ $V\ni F(0)$ $G\colon V\to X$ $F(G(y))=y$ $y$ $V$

Banach-lajikkeet

Nämä kaksi yleistyslinjaa voidaan yhdistää Banachin monistojen käänteisfunktiolauseeseen. [yksi]

Katso myös

Implisiittinen funktiolause

Muistiinpanot

↑ Lang 1995, Lang 1999, s. 15-19, 25-29.

Linkit

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi, mikä tahansa painos
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. painos, osa 1, M., 1971
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktion teorian elementit ja funktionaalinen analyysi, 5. painos, M., 1981
Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funktionaalisen analyysin elementit, 2. painos, M., 1965
Nikolsky S. M. Matemaattisen analyysin kurssi, 2. painos, osat 1-2, M., 1975
Pontryagin L. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt, 4. painos, M., 1974 - § 33
Schwartz L. Analysis, käänn. ranskasta, osa 1, M., 1972
Serge Lang . Differentiaali- ja Riemanni-jakotukit. - Springer, 1995. - ISBN 0-387-94338-2 .
Serge Lang . Differentiaaligeometrian perusteet. - New York: Springer, 1999. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). - ISBN 978-0-387-98593-0 .
Nijenhuis, Albert. Vahvat derivaatat ja käänteiskuvaukset (englanniksi) // Amer. Matematiikka. Kuukausi : päiväkirja. - 1974. - Voi. 81 , no. 9 . - s. 969-980 . - doi : 10.2307/2319298 .
Renardy, Michael ja Rogers, Robert C. Johdatus osittaisiin differentiaaliyhtälöihin (italia) . — Toiseksi. - New York: Springer-Verlag , 2004. - S. 337-338. — (Soveltavan matematiikan tekstit 13). — ISBN 0-387-00444-0 .
Rudin, Walter . Matemaattisen analyysin periaatteet (uuspr.) . — Kolmas. - New York: McGraw-Hill Education , 1976. - S. 221-223. — (International Series in Pure and Applied Mathematics). — ISBN 978-0070542358 .