Reesin esityslause

Reesin esityslause (myös Rees-Fréchet -lause ) on funktionaalisen analyysin lause , jonka mukaan jokainen Hilbert-avaruuden lineaarisesti rajattu funktionaali voidaan esittää sisätulon kautta käyttämällä jotakin elementtiä. Nimetty unkarilaisen matemaatikon Frigyes Rysin mukaan .

Sanamuoto

Olkoon avaruudessa Hilbert-avaruus ja lineaarisesti rajattu funktionaali . Sitten on ainutlaatuinen tilan elementti , joka on mielivaltainen . Lisäksi tasa-arvo täyttyy: . $H$ $f\in H'$ $H$ $y$ $H$ $x\in H$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $\|y\|=\|f\|$

Todiste

$\ker(f)$ lineaarifunktion ydin on vektorialiavaruus . $H$

Olemassaolo $y$

Jos , niin se riittää ottamaan . Oletetaan, että . Silloin , ja siksi ytimen ortogonaalinen komplementti ei ole yhtä suuri kuin . Valitsemme mielivaltaisen nollasta poikkeavan vektorin . Anna . Näytämme sen kaikille . Harkitse vektoria . Huomaa, että ja siten . Koska sitten . Näin ollen $f\equiv 0$ $y = 0$ $f\neq 0$ $\ker(f)\neq H$ ${\displaystyle \ker(f)^{\bot ))$ $f$ $\{0\}$ $b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \))$ $y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $x\in H$ $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$ $f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)))f(b)=0$ $p_{x}\in \ker(f)$ ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot ))$ $\langle b,p_{x}\rangle =0$

$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\ alue -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0$ .

Täältä ja . $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2))}$ $f(x)=\langle y,x\rangle$

Ainutlaatuisuus $y$

Oletetaan, että ja elementit täyttävät . $y$ $z$ $H$ $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$

Tämä tarkoittaa, että tasa-arvo koskee kaikkia , erityisesti niitä, joista tasa-arvo saadaan . $x\in H$ $\langle yz,x\rangle =0$ $\langle yz,yz\rangle =\|yz\|^{2}=0$ $y=z$

Normien tasa-arvo

Todistaaksemme sen, ensinnäkin Cauchyn ja Bunyakovskyn epätasa-arvosta : . Näin ollen funktionaalin normin määritelmän mukaan meillä on: Lisäksi , mistä . Yhdistämällä nämä kaksi epäyhtälöä saadaan . $\|y\|=\|f\|$ $|f(x)|=|\langle y,x\rangle |\leq \|y\|\|x\|$ $\|f\|\leq \|y\|.$ $\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$ $\|y\|\leq \|f\|$ $\|y\|=\|f\|$

Katso myös

Lax-Milgramin lause