Mertensin lauseet

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Mertensin lauseet ovat kolme 1874 tulosta, jotka liittyvät alkulukujen tiheyteen , Franz Mertensin [1] todistamana . Nimi "Mertensin lause" voi viitata myös hänen lauseeseensa analyysissä .

Lukuteoriassa

Alla tarkoittaa kaikkia alkulukuja, jotka eivät ole suurempia kuin n . $p\leqslant n$

Mertensin ensimmäinen lause :

\sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n

ei ylitä 2 absoluuttisena arvona minkään . (sekvenssi A083343 OEIS : ssä ) $n \geqslant 2$

Mertensin toinen lause :

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM\right)=0,

missä M on Meissel-Mertens-vakio (sekvenssi A077761 OEIS : ssä ). Tarkemmin sanottuna Mertens [1] osoitti, että suluissa oleva lauseke ei ylitä absoluuttista arvoa

{\frac {4}{\ln(n+1)))+{\frac {2}{n\ln n))

mille tahansa . $n \geqslant 2$

Mertensin kolmas lause :

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

jossa γ on Euler-Mascheronin vakio (sekvenssi A001620 OEIS : ssä ).

Allekirjoitusmuutos

Vuonna 1983 julkaistussa Robinin artikkelissa [2] jakajafunktion summan kasvuasteesta Guy Robin osoitti, että Mertensin toisessa lauseessa ero

\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM

muuttaa etumerkkiä äärettömän monta kertaa, ja Mertensin kolmannessa lauseessa ero

\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }

myös vaihtaa merkkiä äärettömästi monta kertaa. Robinin tulokset ovat samanlaisia kuin Littlewoodin kuuluisa lause , jonka mukaan ero muuttaa etumerkkiä äärettömän monta kertaa. Skewesin luvulle (ensimmäisen luonnollisen luvun x yläraja , jolle ) ei tunneta analogia 2. ja 3. Mertensin lauseille. $\pi(x)-li(x)$ $\pi (x)>li(x)$

Mertensin toinen lause ja alkulukulause

Mitä tulee asymptoottiseen kaavaan, Mertens huomauttaa artikkelissaan "kaksi omituista Legendren kaavaa" [1] , joista ensimmäinen on Mertensin toisen lauseen prototyyppi (ja toinen Mertensin kolmannen lauseen prototyyppi - katso ensimmäiset rivit). artikla). Hän huomauttaa, että kaava sisältyy Legendren Théorie des nombresin kolmanteen painokseen (1830; itse asiassa hän mainitsi sen toisessa painoksessa, 1808), ja että Tšebyšev osoitti yksityiskohtaisemman version vuonna 1851 [3] . Huomaa, että Euler tiesi jo vuonna 1737 tämän summan asymptoottisen käyttäytymisen [4] .

Mertens kuvailee todistustaan diplomaattisesti tarkemmiksi ja tiukemmiksi. Itse asiassa mikään aikaisemmista todisteista ei ole hyväksyttävissä nykyaikaisten standardien mukaan – Eulerin laskelmiin liittyy ääretön (hyperbolinen äärettömyyden logaritmi ja äärettömyyden logaritmi!), Legendren argumentit ovat heuristisia ja Tšebyshevin todistus, vaikka se onkin moitteeton, perustuu Legendre -Gaussin arvelu, joka on todistettu vasta vuonna 1896 ja sen jälkeen tuli tunnetuksi alkulukulauseena .

Mertensin todistus ei viittaa mihinkään todistamattomaan olettamukseen (vuonna 1874) ja käyttää alkeellista reaalianalyysiä. Todistus julkaistiin 22 vuotta ennen alkulukulauseen ensimmäistä todistusta, joka, toisin kuin Mertensin todistus, perustuu Riemannin zeta-funktion käyttäytymisen huolelliseen analyysiin kompleksisen muuttujan funktiona. Mertensin todistus tässä suhteessa on merkittävä. Lisäksi nykyaikaisessa merkinnässä se antaa periksi

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)

ottaen huomioon, että on mahdollista osoittaa alkulukujakauman lauseen ekvivalenssi (yksinkertaisimmassa muodossaan ilman virheestimointia) kaavalle [5]

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).

Vuonna 1909 Landau osoitti [6] käyttäen täydellisempää versiota alkulukujen jakauman lauseesta .

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14)))

Erityisesti virhe on pienempi kuin millään kiinteällä kokonaisluvulla k . Yksinkertainen summaus osien mukaan, käyttäen alkulukulauseen vahvinta muotoa , parantaa kaavan muotoon ${\displaystyle 1/(\log x)^{k))$

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}( \log \log x)^{-1/5}})

joillekin . $c>0$

Summoitavuusteoriassa

Summateoriassa Mertensin lause sanoo , että jos todellinen tai monimutkainen ääretön sarja

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

suppenee A : een ja toiseen sarjaan

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

konvergoi ehdottomasti arvoon B , sitten heidän Cauchyn tulonsa konvergoi arvoon AB .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Mertens, 1874 , s. 46–62.
↑ Robin, 1983 , s. 233-244.
↑ Tchebychev, 1851 , s. 141-157.
↑ Euler, 1737 , s. 160-188.
↑ Vaikka tätä vastaavuutta ei esimerkiksi tässä nimenomaisesti mainita, se voidaan helposti päätellä G. Tenenbaumin kirjan luvun I.3 aineistosta ( Tenenbaum 1995 )
↑ Landau, 1909 .

Kirjallisuus

Mertens F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie // J. reine angew. Matematiikka.. - 1874. - T. 78 .
Robin G. Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs // Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Edistystä matematiikassa. - 1983. - T. 38 .
Tchebychev P.L. - 1851. - T. VI .
Leonhard Euler. Variae observations circa series infinitas // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Tenenbaum G. Johdatus analyyttiseen ja todennäköisyyslaskentaan lukuteoriaan / CB Thomas (Käännetty toisesta ranskankielisestä painoksesta, 1995). - Cambridge: Cambridge University Press, 1995. - V. 46. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics).
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Leipzig: Teubner, 1909. Repr. Chelsea New York 1953, § 55, s. 197-203.
V. I. Zenkin. Alkulukujen jakautuminen. Elementaariset menetelmät. Kaliningrad, 2008.

Lue lisää lukemista varten

Prahar K. Alkulukujen jakauma. - M.: Mir, 1967.

Yaglom A.M. , Yaglom I.M. Ei-perustehtävät alkeisesityksessä. - M.: Gostekhizdat, 1954.Tehtävät 167, 169, 170

Linkit

Weisstein, Eric W. Mertens Constant (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Sondow, Jonathan ja Weisstein, Eric W. Mertensin lause (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Mertensin toinen lause (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .