Dickey-Fuller-testi (DF-testi, Dickey-Fuller-testi) on tekniikka, jota käytetään sovelletussa tilastossa ja ekonometriassa aikasarjojen analysoimiseen stationaarisuuden testaamiseksi. Se on yksi yksikköjuurten testeistä ( Unit root test ). Sitä ehdottivat vuonna 1979 David Dickey ja Wayne Fuller [1] .
Clive Granger sai vuonna 2003 taloustieteen Nobel-palkinnon panoksestaan yhteisintegroitujen prosessien tutkimukseen ehdotetun Dickey-Fuller-testin avulla . [2]
Aikasarjalla on yksikköjuuri tai integrointijärjestys on sama, jos sen ensimmäiset erot muodostavat stationaarisen sarjan. Tämä ehto kirjoitetaan ikään kuin ensimmäinen erosarja olisi paikallaan .
Tämä testi tarkistaa kertoimen arvon ensimmäisen asteen autoregressiivisessä yhtälössä AR(1)
missä on aikasarja ja missä on virhe.
Jos , niin prosessilla on yksikköjuuri, tässä tapauksessa sarja ei ole stationäärinen, se on ensimmäisen kertaluvun integroitu aikasarja - . Jos , niin sarja on paikallaan - .
Rahoitus- ja talousprosesseille arvo ei ole tyypillinen, koska tässä tapauksessa prosessi on "räjähtävä". Tällaisten prosessien esiintyminen on epätodennäköistä, koska rahoitus- ja talousympäristö on melko inertiaalinen, mikä ei salli äärettömän suurien arvojen hyväksymistä lyhyiksi ajanjaksoiksi.
Yllä oleva autoregressiivinen yhtälö AR(1) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: [3]
jossa , ja on ensimmäisen kertaluvun erooperaattori .
Siksi hypoteesin testaaminen yksikköjuuresta tässä esityksessä tarkoittaa nollahypoteesin testaamista , että kerroin on yhtä suuri kuin nolla . Koska "räjähtävien" prosessien tapaus on poissuljettu, testi on yksipuolinen, toisin sanoen vaihtoehtoinen hypoteesi on hypoteesi, että kerroin on pienempi kuin nolla. Testitilasto (DF-statistic) on yleinen tilasto lineaaristen regressiokertoimien merkitsevyyden testaamiseksi . Tämän tilaston jakauma eroaa kuitenkin klassisesta -tilaston jakaumasta ( Studentin t- jakauma tai asymptoottinen normaalijakauma). DF-tilaston jakauma ilmaistaan Wiener-prosessilla ja sitä kutsutaan Dickey-Fuller-jakaumaksi.
Testistä on kolme versiota (testiregressioita):
Jokaiselle kolmelle testiregressiolle on DF - tilastojen kriittiset arvot, jotka on otettu erityisestä Dickey-Fuller (McKinnon) -taulukosta. Jos tilaston arvo on kriittisen arvon vasemmalla puolella (kriittiset arvot ovat negatiivisia) tietyllä merkitsevyystasolla, nollahypoteesi yksikköjuuresta hylätään ja prosessia pidetään paikallaan (tässä mielessä). testata). Muuten hypoteesia ei hylätä ja prosessi voi sisältää yksikköjuuria, eli olla ei-stationaarinen (integroitu) aikasarja.
Dickey-Fuller-tilastojen kriittiset arvot 1 %:n merkitsevyystasolla
Otoskoko | AR malli | AR-malli vakiolla | AR-malli vakiolla ja trendillä |
---|---|---|---|
25 | -2.66 | -3,75 | -4.38 |
viisikymmentä | -2.62 | -3.58 | -4.15 |
100 | -2.60 | -3.51 | -4.04 |
-2.58 | -3.43 | -3,96 |
Vertailun vuoksi Studentin jakauman kriittinen arvo kaikille malleille suurilla otoskooilla on 2,33, pienillä näytteillä - 2,5. McKinnon johti myös likimääräiset kaavat kriittisten arvojen arvioimiseksi.
Jos testiregressioihin lisätään aikasarjojen ensimmäisten erojen viiveet, DF-tilaston jakauma (ja siten kriittiset arvot) ei muutu. Tällaista testiä kutsutaan laajennetuksi Dickey-Fuller-testiksi (Augmented DF, ADF).
Tarve ottaa mukaan ensimmäisten erojen viiveet johtuu siitä, että prosessi voi olla ei ensimmäisen, vaan korkeamman asteen autoregressio. Harkitse esimerkkiä AR(2)-mallista:
Tämä malli voidaan esittää seuraavasti:
Jos aikasarjalla on yksi yksikköjuuri, niin ensimmäiset erot ovat määritelmän mukaan stationäärisiä. Ja koska se oletuksena on ei-stationaarinen, niin jos sen kerroin ei ole nolla, yhtälö on epäjohdonmukainen. Siten tällaisen sarjan ensimmäisen kertaluvun integroinnin oletuksesta seuraa, että . Näin ollen yksikköjuurien läsnäolon tarkistamiseksi tässä mallissa on suoritettava standardi DF-testi kertoimelle kohdassa , ja riippuvan muuttujan ensimmäisen eron viive tulisi lisätä testiregressioon.
Ilmoitetun syyn lisäksi on olemassa myös toinen yhden mallin virheet, jotka eivät välttämättä ole valkoista kohinaa , vaan jokin kiinteä ARMA-prosessi , joten sinun on tarkistettava yksikköjuuri useiden viiveiden varalta. On kuitenkin otettava huomioon, että viiveiden määrän kasvu johtaa testin tehon pienenemiseen. Yleensä rajoitettu kolmeen tai neljään viiveeseen.
Dickey-Fuller-testi, kuten monet muutkin testit, tarkistaa vain yhden yksikköjuuren olemassaolon. Prosessilla voi kuitenkin teoriassa olla useita yksikköjuuria. Tässä tapauksessa testi voi olla väärä. Koska yleensä oletetaan, että reaalitaloudellisissa aikasarjoissa tuskin voi esiintyä enempää kuin kolme yksikköjuurta, on teoreettisesti perusteltua testata ensin sarjan toisia eroja. Jos tämän sarjan yksikköjuurihypoteesi hylätään, niin ensimmäisten erojen yksikköjuuri testataan. Jos hypoteesia ei hylätä tässä vaiheessa, niin alkuperäisellä sarjalla on kaksi yksikköjuurta. Jos hylätään, itse aikasarjan yksikköjuuri tarkistetaan edellä kuvatulla tavalla. Käytännössä kaikki tehdään usein päinvastaisessa järjestyksessä, mikä ei ole täysin oikein. Oikeat johtopäätökset edellyttävät testituloksia toisesta ja ensimmäisestä erosta sekä itse aikasarjasta.