Miquel pointti

Miquelin piste on yksi nelikulmion merkittävistä pisteistä .

Määritelmä

Järjestetään neljä suoraa siten ( yleisasennossa ), että kun ne leikkaavat, muodostuu neljä kolmiota. Sitten näiden kolmioiden ympärille piirretyillä ympyröillä on yhteinen piste, jota kutsutaan tämän suorakokoonpanon Miquel-pisteeksi .

Huomautus

Väitettä, että nämä neljä ympyrää leikkaavat yhdessä pisteessä, kutsutaan Michel-Steinerin nelisivulauseeksi [1] .

Ominaisuudet

Yllä olevien neljän kolmion (siniset pisteet kuvassa) rajattujen ympyröiden keskipisteet sijaitsevat samalla (punaisella) ympyrällä, joka kulkee Miquel-pisteen kautta (vihreä yllä olevassa kuvassa).
Nelikulmio , joka muodostuu neljästä annetusta suorasta , , ja , piirretään silloin ja vain, jos Miquel-piste sijaitsee linjalla, joka yhdistää kaksi viivojen kuudesta leikkauspisteestä (ne, jotka eivät ole nelikulmion kärkipisteitä), eli kun se makaa päällä . $ABCD$ $OLLA$ $BF$ $CE$ $AF$ $M$ $EF$

Historia

Tämän tuloksen ilmoitti Jakob Steiner [2] . Täydellisen todisteen antoi Miquel [1] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Miquelin lause viisikulmaiselle (viisisakaraiselle tähdelle)

Olkoon kupera viisikulmio annettu . Jatketaan sen kaikkia viittä sivua, kunnes ne leikkaavat viidessä pisteessä , , , , (muodostavat viisisakaraisen tähden). Kuvaamme viisi ympyrää viiden kolmion ympärillä , , , ja . Sitten niiden muut keskinäiset leikkauspisteet (paitsi , , , , ), eli uudet pisteet: , , , ja sijaitsevat samalla ympyrällä (ne kuuluvat samaan ympyrään) [3] (katso kuva). Käänteinen tunnetaan viiden ympyrän lauseena . $ABCDE$ $F$ $G$ $H$ $minä$ $K$ $CFDs$ $DGE$ $EHA$ $AIB$ $BKC$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $M$ $N$ $P$ $R$ $K$

Miquelin kuuden ympyrän lause

Olkoon neljä pistettä , , Ja , annetaan ympyrän Ja neljä ympyrää leikkaa pareittain näissä kohdissa sekä neljässä muussa pisteessä , , Ja . Sitten viimeiset neljä pistettä ovat myös yhteisellä ympyrällä. Tämä lause tunnetaan "kuuden ympyrän lauseena" [4] (katso kuva). $A$ $B$ $C$ $D$ $W$ $X$ $Y$ $Z$

Tätä lausetta kutsutaan joskus neljän ympyrän teoreemaksi ja se johtuu Jakob Steineristä, vaikka ainoan tunnetun julkaistun todisteen antoi Miquel [5] .

Wells viittaa tähän lauseeseen "Miquelin lauseena" [6] .

Miquelin lauseen kolmiulotteinen analogi

On myös kolmiulotteinen analogi, jossa neljä tetraedrin pisteiden läpi kulkevaa palloa ja tetraedrin reunoilla olevat pisteet leikkaavat yhdessä yhteisessä pisteessä . Wells viittaa Miqueliin ja viittaa tähän lauseeseen Pivotin lauseena . [7] $M$

Katso myös

Point Poncelet
Miquelin lause - toinen tulos Miquelin lauseesta
Suora Ober

Muistiinpanot

↑ 1 2 Ostermann & Wanner (2012) , s. 96.
↑ Steiner, J. (1827/1828), Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet, Annales de math. T. 18: 302–304
↑ Lukion opettaja Ranskan maaseudulla (Nantua) Ostermann & Wanner 2012 mukaan . - Ostermann & Wanner, 2012. - P. 94-97.
↑ Lukion opettaja Ranskan maaseudulla (Nantua) Ostermann & Wanner 2012 mukaan . — Ostermann & Wanner, 2012. — s. 94.
↑ Lukion opettaja Ranskan maaseudulla (Nantua) Ostermann & Wanner 2012 mukaan . — Ostermann & Wanner, 2012. — s. 352.
↑ Wells, David. Pingviinien sanakirja uteliaasta ja mielenkiintoisesta geometriasta . - New York: Penguin Books, 1991. - S. 151-152 .
↑ Wells, David. Pingviinien sanakirja uteliaasta ja mielenkiintoisesta geometriasta . - New York: Penguin Books, 1991. - s . 184 .

Kirjallisuus

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. L. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa . - M .: Nauka, 1978. - 224 s. - (Numero 14 sarjasta " Matematiikan ympyrän kirjasto "). - 148 000 kappaletta.

Forder, H.G. (1960), Geometry , Lontoo: Hutchinson

Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3

Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0

Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5. painos), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6