Bezierin kolmio

Bezier-kolmio on erityinen Bezier-pinnan tyyppi, joka syntyy interpoloinnista (lineaarinen, neliöllinen, kuutio tai suurempi) ohjauspisteiden yli.

Bezier-kolmio kertaluvun n

Yleistetyllä Bézier-kolmiolla , jonka kertaluku on n , on ( n + 1)( n + 2)/2 ohjauspistettä a i β j γ k , missä i , j , k ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja siten, että i + j + k = n [ 1] . Sitten pinta annetaan muodossa

(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{n}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k=n\\i,j,k\geq 0\end{smallmatrix} }{n \valitse i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\ alkaa{smallmatrix}i+j+k=n\\i,j,k\geq 0\end{smallmatrix}}{\frac {n!}{i!j!k!}}s^{i}t^ {j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}

kaikille ei-negatiivisille reaaliluvuille s + t + u = 1.

Lineaarisessa tapauksessa ( ) Bezier-kolmio on tasainen kolmio, jonka kärjet ovat kolme ohjauspistettä. Neliöllisen ( ) Bezier-kolmion sivuilla on kuusi ohjauspistettä. Kuutiomainen Bezier-kolmio ( ) on määritelty 10 kontrollipisteellä ja se on pienin kertaluokkainen Bezier-kolmio, jonka sisäinen ohjauspiste ei sijaitse sivulla. Kaikissa tapauksissa kolmion sivut ovat samanasteisia Bezier-käyriä. ${\textstyle n=1}$ ${\textstyle n=2}$ ${\textstyle n=3}$

Kuutio Bézier-kolmio

Kuutioinen Bezier-kolmio on yhtälön antama pinta

{\begin{aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=&\beta ^{3}\ t^{3}+3\ \alpha \beta ^{2}\ st^{2}+3\ \beta ^{2}\gamma \ t^{2}u+\\&3\ \alpha ^{2}\beta \ s^{2} t+6\ \alpha \beta \gamma \ stu+3\ \beta \gamma ^{2}\ tu^{2}+\\&\alpha ^{3}\ s^{3}+3\ \alpha ^{2}\gamma \ s^{2}u+3\ \alpha \gamma ^{2}\ su^{2}+\gamma ^{3}\ u^{3}\end{aligned}},

jossa α 3 , β 3 , γ 3 , α 2 β , αβ 2 , β 2 γ, βγ 2 , αγ 2 , α 2 γ ja αβγ ovat kolmion ohjauspisteitä ja u ( ≤ 0 , st, s , t , u ≤ 1 ja s+t+u=1) ovat barysentriset koordinaatit kolmion sisällä. [2] [1]

Myös Bezier-kolmio voidaan esittää yleisemmin muodossa

{\begin{aligned}p(s,t,u)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k=3\\i,j,k\geq 0\end{smallmatrix} }{3 \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\ alkaa{smallmatrix}i+j+k=3\\i,j,k\geq 0\end{smallmatrix}}{\frac {6}{i!j!k!}}s^{i}t^{ j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}\end{aligned}}

n:nnen kertaluvun Bezier-kolmion kaavan mukaisesti.

Kolmion kulmat ovat pisteet α 3 , β 3 ja γ 3 . Kolmion sivut ovat Bezier-käyriä, joissa on samat ohjauspisteet kuin Bezier-kolmiossa.

Kun termin eliminoidaan γu:lla, tuloksena on säännöllinen Bezier-käyrä. Lisäämällä lisätermejä saadaan Bezier-tetraedri tai Bezier -polytooppi .

Yhtälön ominaisuuksista johtuen koko kolmio sisältyy kontrollipisteiden rajaamaan tilavuuteen, ja säätöpisteiden affiinimuunnokset muuttavat koko kolmion samalla tavalla.

Kuutiometrisen Bezier-kolmion jako

Bézier-kolmioiden käytön etuna tietokonegrafiikassa on se, että Bézier-kolmion jakaminen kahdeksi Bézier-kolmioksi vaatii vain yhteen- ja kahdella jakamisoperaatioita, ei liukulukuaritmetiikkaa . Tämä tarkoittaa, että sileät Bezier-kolmiot voidaan rekursiivisesti approksimoida joukolla säännöllisiä kolmioita jakamalla kolmiot kahdella, kunnes tuloksena olevat kolmiot ovat tarpeeksi pieniä.

Alla on menetelmä uusien kontrollipisteiden laskemiseksi puolelle alkuperäisestä Bezier-kolmiosta, jonka kulma on α 3 , toinen kulma Bezier-käyrän puolikkaalle välillä α 3 ja β 3 ja kolmas kulma γ 3 .

{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}{'}\\{\boldsymbol {\ alfa \beta ^{2))}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{3))}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}{'}\\ {\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}} {'}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{pmatrix}}={\begin{ pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0}&1 &{3 \yli 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0 \&4 \&0&0&0&0 }&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\\\0&0&0&0&0&0} {pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{ \boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\bolds  symboli {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2))}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3))}\end{pmatrix))

Vastaavasti käyttämällä vain yhteen- ja kahdella jakamista,

		β3 : = ( αβ2 + β3 ) / 2
	αβ 2 := ( α 2 β + αβ 2 )/2	β3 : = ( αβ2 + β3 ) / 2
α 2 β := ( α 3 + α 2 β )/2	αβ 2 := ( α 2 β + αβ 2 )/2	β3 : = ( αβ2 + β3 ) / 2

		β 2 γ := ( αβγ + β 2 γ )/2
αβγ := ( α 2 γ + αβγ )/2		β 2 γ:=(αβγ+β 2 γ)/2

βγ 2 := ( αγ 2 + βγ 2 )/2

jossa := tarkoittaa vasemmanpuoleisen vektorin korvaamista oikeanpuoleisella vektorilla. Huomaa, että Bezier-kolmion puolittaminen on analogista Bezier-kolmion puolittamiseen missä tahansa järjestyksessä.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Farin, Gerald (2002), Käyrät ja pinnat tietokoneavusteiseen geometriseen suunnitteluun (5 painos), Academic Press Science & Technology Books, ISBN 978-1-55860-737-8
↑ 3D Surface Rendering in Postscript , < http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-03b/projects-03b/drader/main.htm > Arkistoitu 3. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa

Linkit

Neliölliset Bézier-kolmiot piirustusprimitiivinä Sisältää lisätietoja taso- ja neliöllisistä Bézier-kolmioista.
Paperi kuutioiden Bézier-korjausten käytöstä säteenseurannassa (saksa)
Kaarevat PN-kolmiot (erityinen kuutio Bézier-kolmio)
Pixel Shader -pohjaiset kaarevat kolmiot