Gassmannin yhtälö

Gassmannin yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka yhdistävät nesteellä tai kaasulla kyllästetyn huokoisen väliaineen elastiset parametrit . Niitä käytetään maankuoren geofysikaalisissa tutkimuksissa kivien elastisten ominaisuuksien (elastisten aaltojen etenemisnopeuden) arvioimiseen. Saatu lineaarisen elastisuusteorian approksimaatiossa , jossa homogeeniselle isotrooppiselle materiaalille on tunnusomaista kolme riippumatonta parametria (tai niistä johdettua määrää), esimerkiksi: bulkkipuristusmoduuli , leikkausmoduuli ja tiheys . $K$ $G$ $\rho$

Huokoisen väliaineen elastiset ominaisuudet

Gassmann-yhtälöissä käytetty huokoisen väliaineen malli olettaa, että materiaali koostuu kiinteästä ja nestemäisestä (kaasumaisesta) faasista. Kiinteä faasi muodostaa jäykän rungon (rungon), jolle on tunnusomaista sen makroskooppiset kimmomoduulit. Nestemäinen (kaasumainen) faasi täyttää tyhjän tilan kokonaan. Sedimenttikivien fysiikan suhteen kiinteää faasia edustavat kiviä muodostavien mineraalien kiteet tai rakeet ja nestefaasia kiven huokoiseen tilaan sisältyvät nesteet. Oletetaan, että tyhjä tila on jakautunut tasaisesti tällaisessa väliaineessa ja sen ominaisuudet ovat suunnasta riippumattomia ( isotrooppinen ). Ontelotilan pääominaisuus on huokoisuus - onteloiden tilavuuden suhde koko näytteen tilavuuteen: . $\phi ={\frac {V_{por}}{V}}$

Samalla tavalla kuin "tehokkaiden" väliaineiden menetelmässä Gassmann-yhtälöitä johdettaessa valitaan sellainen homogeeninen isotrooppinen materiaali, joka käytetyn kuormituksen alaisena "keskimäärin" käyttäytyy samalla tavalla kuin tutkittava mikroepähomogeeninen huokoinen väliaine. Siten Gassmann-mallissa tarkasteltavalle kaksivaiheiselle järjestelmälle on tunnusomaista seuraavat parametrit:

tyydyttyneen materiaalin tehokkaat kimmomoduulit : ; ${\näyttötyyli K,G,\rho }$
huokoisuus: ; $\phi$
luuston muodostavan kiinteän faasin (mineraaliaineen) kimmomoduulit: ; ${\displaystyle K_{m},G_{m},\rho _{m))$
nesteen kimmomoduuli: ; $K_{f},\rho _{f}$
kallion rungon tehokkaat kimmomoduulit (tyydyttymättömät): ; ${\displaystyle K_{dry},G_{dry))$

Jälkimmäiset riippuvat sekä mineraaliaineen ominaisuuksista että monista muista tekijöistä (huokostilan geometria, raekontaktien luonne, tehollinen paine jne.), eikä niitä yleensä voida laskea yksiselitteisesti. Gassmann-yhtälöjärjestelmä yhdistää luetellut ominaisuudet toisiinsa, mikä mahdollistaa joidenkin parametrien ilmaisemisen toisilla, kun ratkaistaan erilaisia soveltuvia ongelmia (esimerkiksi nesteen vaihtoongelma ). Yksi tässä mallissa käytetyistä oletuksista on oletus, että kaksifaasisen väliaineen leikkausmoduuli on riippumaton huokoset täyttävän nesteen ominaisuuksista. Siksi (kuitenkin ). Väliaineen tiheys on painotettu keskiarvo kiinteän faasin tiheyden ja nesteen tiheyden välillä. Siten Gassmann-yhtälöiden päätarkoitus on huokoisen tyydyttyneen väliaineen all-round-kompressiomoduulin lausekkeessa. Yleisimmässä muodossaan tällä lausekkeella on seuraava muoto: $G$ ${\displaystyle G=G_{kuiva))$ ${\displaystyle G_{dry}\neq G_{m))$

$F(K,K_{m},K_{kuiva},K_{f},\phi )=0;$

Mikä tahansa tähän yhtälöön argumenttina sisällytetystä viidestä parametrista voidaan ilmaista neljällä muulla.

Perusmerkintä

Kyllästetyn materiaalin tehollisen kimmomoduulin laskemiseen käytetään Gassmann-yhtälöiden eksplisiittistä muotoa :

K=K_{kuiva}+{\frac {\left(1-{\frac {K_{dry)){K_{m))}\right)^{2)){{\frac {\phi }{K_{f))}+{\frac {1-\phi }{K_{m))}-{\frac {K_{kuiva)){K_{m}^{2))))};

G=G_{kuiva};

\rho =\rho _{m}(1-\phi )+\rho _{f}\phi ;

Näiden lausekkeiden avulla on mahdollista arvioida täyteaineen elastisten parametrien vaikutusta kiven ominaisuuksiin. Niiden perusteella voidaan laskea huokoisen tyydyttyneen väliaineen muita elastisia ominaisuuksia. Esimerkiksi:

pitkittäisaallon nopeus :

V_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}};

leikkausaallon nopeus :

V_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {G_{dry}}{\rho }}};

On huomattava, että huolimatta siitä, että nesteen ominaisuudet eivät vaikuta kiven leikkausmoduuliin, leikkausaallon nopeus muuttuu nestetyypin muutoksen myötä tiheyden vaikutuksesta.

"Kuivan" luurangon elastiset moduulit

Tyydyttyneen huokoisen materiaalin elastisten ominaisuuksien laskemiseksi Gassmannin yhtälön eksplisiittistä muotoa käyttämällä on tarpeen asettaa parametrit ja . Tätä varten käytetään yleensä empiirisiä suhteita. Nurin kriittisen huokoisuuden yleistetty malli (A.Nur), joka on hyvin sopusoinnussa kokeiden kanssa ja joka on vahvistettu numeerisen simulaation tuloksilla [1] , on löytänyt laajan sovelluksen : ${\displaystyle K_{kuiva))$ ${\displaystyle G_{dry))$

K_{dry}=K_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{a},\ \ \phi <\phi _{ cr}

G_{dry}=G_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{b},\ \ \phi <\phi _{ cr}

Tässä on kriittinen huokoisuus ja ja ovat ohjauskertoimet, jotka on kalibroitu mittaustulosten perusteella. ${\displaystyle \phi _{cr))$ $a$ $b$

Kriittisen huokoisuuden fysikaalinen merkitys on huokosten suhteellinen tilavuus, jonka yläpuolella materiaali menettää jäykkyytensä (esimerkiksi siirtymäkohta hiekkakivestä hiekkaan tai kyllästetystä kivestä suspensioon). Jos huokoisuusarvo ylittää kriittisen arvon, . Tässä tapauksessa Gassmannin yhtälö muuttuu Woodin yhtälöksi . $K_{dry}=G_{dry}=0$

Parametrien arvot riippuvat tyhjiön geometriasta, kosketuksen luonteesta ja rakeiden muodosta sekä muista kivirungon ominaisuuksista. $a$ $b$

Kiinteän faasin ja nesteen monikomponenttinen koostumus

Todellisten kivien kiinteän faasin koostumus sisältää yleensä useita kiviä muodostavia mineraaleja. Tässä tapauksessa mineraaliaineen kimmomoduulien arvioimiseen käytetään erilaisia keskiarvostustekniikoita . Itsekonsistentti kenttämenetelmä antaa yleensä hyviä tuloksia . Voidaan käyttää myös Hill - keskiarvomenetelmää . $K_{m}$ $G_{m}$

Woodin yhtälön avulla voidaan arvioida monikomponenttisen koostumuksensa sisältävän nesteen kokonaispuristusmoduuli . On kuitenkin pidettävä mielessä, että tätä yhtälöä voidaan soveltaa vain sekoittumattomiin komponentteihin. Esimerkiksi tietyn määrän maakaasua liuenneena sisältävän säiliööljyn ominaisuuksien arviointi voi antaa suuria virheitä.

Perusoletukset. Laajuus

Gassmann-yhtälöitä voidaan käyttää sekä staattisten kimmomoduulien määrittämiseen että dynaamisissa tapauksissa (esimerkiksi seismisten aaltojen etenemisnopeuksien arvioimiseen kivissä). Yhtälöitä johdettaessa käytetään kuitenkin seuraavia oletuksia, jotka rajoittavat tämän teorian soveltamisalaa:

Mineraalirunko ja neste liikkuvat yhdessä (ei liukumista). Kiven alkuainetilavuuden muutos on nesteen tilavuuden ja kiinteän faasin tilavuuden muutoksen summa;
Nesteominaisuudet eivät vaikuta kiven leikkausmoduuliin;
Kiven jännitys on rungon jännityksen ja nesteen paineen (huokospaineen) summa;

Ensimmäinen oletus asettaa rajoituksia signaalien taajuusalueelle käytettäessä Gassmannin teoriaa dynaamisissa ongelmissa. Riittävän lyhyellä aallonpituudella nestefaasi "luisuu" suhteessa kalliorunkoon. Tämän seurauksena havaitaan aallonnopeuden taajuusdispersiota ja energiahäviötä. Näitä vaikutuksia tarkastellaan yleisemmässä Biot-Nikolaevskin teoriassa , josta Gassmannin yhtälöt voidaan johtaa erikoistapauksena.

Taajuusalue, jolla Gassmannin teoria kuvaa kokeelliset tiedot hyvin, on yleensä arviolta 10 % Biotin resonanssitaajuudesta :

f_{max}=0.1f_{Bio}=0.1{\frac {\eta \phi }{2\pi \kappa \rho _{f}}};

$\eta$ on nesteen dynaaminen viskositeetti ,

$\kappa$ - materiaalin läpäisevyyskerroin (kiven absoluuttinen läpäisevyys ).

Korkeamman taajuuden värähtelyillä huokoisessa ja läpäisevässä kyllästetyssä väliaineessa pituus- ja poikittaisaaltojen lisäksi syntyy toisen tyyppinen pitkittäisaalto .

Useimpien todellisten kivien Biot-resonanssitaajuus on huomattavasti suurempi kuin 20-30 kHz. Tämä mahdollistaa Gassmannin yhtälöiden käytön seismisen ja äänidatan tulkinnassa .

Alla olevassa taulukossa on esimerkki Gassmann-yhtälöiden sovellettavuuden rajataajuuden arvioimisesta todellisten vesikylläisten kivien tyypillisille huokoisuuden ja läpäisevyyden arvoille.

Esimerkki rajataajuuden arvioinnista (kHz): $f_{{max}}$
	huokoisuus
läpäisevyys	kymmenen%	kaksikymmentä%	kolmekymmentä%	40 %
$\kappa$ = 1 mD	882	1764	2646	3528
$\kappa$ = 10 mD	88	176	265	353
$\kappa$ = 100 mD	9	kahdeksantoista	27	35

Muut kirjoittamisen muodot

Useissa sovellettavissa tehtävissä on kätevää käyttää muita Gassmann-yhtälöiden esityksiä, jotka voidaan johtaa perusmuodosta.

1. Implisiittinen muoto

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{kuiva}}{K_{m}-K_{kuiva}}}+{\frac {K_{f}} {\phi (K_{m}-K_{f))));

2. Reuss-lomake

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{kuiva}}{K_{m}-K_{kuiva}}}+{\frac {K_{R}} {K_{m}-K_{R}}},

{\frac {1}{K_{R}}}={\frac {\phi }{K_{f}}}+{\frac {1-\phi }{K_{m}}};

3. Lomake Biot

K=K_{kuiva}+B^{2}M,

{\frac {1}{M}}={\frac {B-\phi }{K_{m}}}+{\frac {\phi }{K_{f}}};

B=1-{\frac {K_{kuiva}}{K_{m}}},

Biot-kertoimen arvo määräytyy tyhjätilan ominaisuuksien mukaan. Voidaan osoittaa, että tämä parametri kuvaa huokosten tilavuuden muutoksen suhdetta kiven kokonaistilavuuden muutokseen muodonmuutoksen aikana. $B$

Haitat ja rajoitukset

Gassmann-yhtälöiden suurin haitta käytännössä on tarve määritellä luurangon elastiset ominaisuudet , jotka riippuvat monista tekijöistä ja joita on vaikea arvioida. $(K_{kuiva},G_{kuiva})$

On myös tärkeää ottaa huomioon taajuuskoostumuksen rajoitus - kun kimmoisten värähtelyjen taajuus on suurempi kuin Biot-taajuus , Gassmann-yhtälö kuvaa huonosti kaksivaiheisen väliaineen elastisia ominaisuuksia, koska nesteen liikettä ei oteta huomioon. kiinteä faasi.

Nesteen vaihtoongelma

Yllä olevien yhtälöiden avulla voidaan arvioida, kuinka kylläisen kiven, jolla on tunnetut elastiset ominaisuudet, ominaisuudet muuttuvat, jos kyllästävän nesteen tyyppiä muutetaan. Samanaikaisesti, jos nesteiden kimmomoduulit sekä kiven mineraalikomponentti tunnetaan, niin ongelman ratkaisemiseksi ei tarvitse asettaa kallion rungon elastisia ominaisuuksia. Tällä tehtävällä on suuri käytännön merkitys arvioitaessa öljy- tai kaasuesiintymien vaikutusta geofysikaalisten tutkimusten tuloksiin.

Katso myös

Linkit

Kivifyysikot _

Kirjallisuus

Valkoinen J.E. Seismisten aaltojen viritys ja eteneminen = Underground sound / editor trans. N.N. Kupla. - M .: Nedra, 1986. - 261 s.
Gassmann, F. Uber Die elastizitat poroser medien // Vier, der Natur Gesellschaft. - 1951. - Nro 96 . - S. 1-23 . (saksa) (on englanninkielinen käännös )
Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. Rock Physics Handbook. - Cambridge University Press, 2009. (englanniksi)
Nur, A., Mavko, G., Dvorkin, J. ja Galmundi, D. Kriittinen huokoisuus: avain fysikaalisten ominaisuuksien suhteuttamiseen kivien huokoisuuteen, Proc. 65th Ann Int. kokous soc. Expl. Geophys.. - 1995. - Nro 878 . (Englanti)
↑ Roberts, AP, ja Garboczi, EJ Huokoisen mallikeramiikan elastiset ominaisuudet // J. Amer. keraaminen yhteiskunta. - 2000. - Nro 83 . - S. 3041-3048 . (Englanti)