Kuudennen asteen yhtälö

Kuudennen asteen yhtälö on algebrallinen yhtälö , jonka maksimiaste on 6. Yleensä se voidaan kirjoittaa seuraavasti:

ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.

Vaikka jotkin tämän yhtälön tietyt muodot, kuten trisquare tai bicubic, voidaan ratkaista graafisesti tai tekijöiden avulla, yleistä analyyttistä ratkaisua tälle yhtälölle ei tunneta. Abel-Ruffinin lauseesta seuraa , että yleisesti ottaen 6. asteen yhtälöä ei voida ratkaista radikaaleilla .

Ratkaisualgoritmit

Frank Cole [1] yritti rakentaa yleisen teorian kuudennen asteen yhtälön ratkaisemiseksi vuonna 1886 . Viidennen asteen yhtälöiden ratkaisualgoritmeja oli ehdotettu kahdeksan vuotta aiemmin , ja Colen työssä yritettiin yleistää kehitetyt menetelmät myös kuudennen asteen yhtälöön.

Alle viiden asteen yhtälöiden teoria perustuu tiettyihin yhden muuttujan lineaarimuunnosryhmiin, jotka vastaavat alkuperäisen yhtälön Galois-ryhmiä . Tällainen viidennen asteen yhtälön muunnosryhmä vastaa 60 :tä vaihtuvan ryhmän operaatiota . Kuudennen asteen yhtälölle tällaisen muunnosryhmän on vastattava jo 360:tä operaatiota vaihtuvasta ryhmästä , joka voidaan esittää seuraavana yhtälönä: $A_{5}$ $A_{6}$

z'={\frac {\alpha z+\beta }{\gamma z+\delta ))

jossa z on 0 , 1, 2, 3, 4, 5 tai : n kanssa kongruentti kokonaisluku . Tietyllä parametrien α, β, γ, δ valinnalla luku z' on myös kokonaisluku. Voidaan osoittaa, että tällaisia parametrijoukkoja on tasan 360. Felix Klein osoitti, että yhden muuttujan lineaaristen muunnosten äärellisiä ryhmiä ei ole olemassa , jotka täyttävät yllä olevat ehdot. Muuttujien lukumäärän tulee olla yleisessä tapauksessa vähintään kolme ja vähintään neljä, jos lineaarimuunnokset kirjoitetaan homogeeniseen muotoon. Nämä ominaisuudet johtavat siihen, että käytännössä algoritmien käyttö kuudennen asteen yhtälön ratkaisun löytämiseksi on epäkäytännöllistä [2] . $\infty \ {\mathrm {mod}}\ 6$

Yksityiset lomakkeet

Trikvadraattinen yhtälö

Trikvadraattinen yhtälö on muodon algebrallinen yhtälö

x^{6}+ax^{3}+b=0

Korvaamalla se pelkistyy neliöyhtälöön $t=x^{3}$

t^{2}+at+b=0

Bicubic yhtälö

Bikuubinen yhtälö on muodon algebrallinen yhtälö

x^{6}+ax^{4}+bx^{2}+c=0

Korvaamalla se pelkistyy kuutioyhtälöön $t=x^{2}$

t^{3}+at^{2}+bt+c=0

Katso myös

Abel-Ruffinin lause

Muistiinpanot

↑ Cole FN Osallistuminen kuudennen asteen yleisen yhtälön teoriaan // Amer . J Math. . - 1886. - Voi. 8 . - s. 265-286 .
↑ R. Bruce King. Luku 8. Kvinttisen yhtälön takana // Beyond the Quartic Equation . - Birkhäuser Boston, 2008. - S. 139-149. — 149 s. - (Modernit Birkhäuser-klassikot). — ISBN 0817648364 . Arkistoitu 22. heinäkuuta 2014 Wayback Machineen

Linkit

Weisstein, Eric W. "Sekstinen yhtälö" . MathWorldistä - Wolfram-verkkoresurssi.

Algebralliset yhtälöt
Lineaarinen yhtälö Toisen asteen yhtälö kuutio yhtälö Neljännen asteen yhtälö Viidennen asteen yhtälö Kuudennen asteen yhtälö Seitsemännen asteen yhtälö