Fiduciaalinen päätelmä

Fiduciaalista päätelmää ( latinalaisesta fides: usko, luottamus) eräänlaisena tilastollisena päätelmänä ehdotti ensimmäisenä Sir R. E. Fisher .

Fiduciaalipäätelmä voidaan tulkita yritykseksi laskea käänteinen todennäköisyys ilman, että vedotaan aiempaan todennäköisyysjakaumaan [1] . Intervalliarvioinnissa " luotettavuusvälejä" verrataan joskus standardilähestymistapoihin:

luottamusvälit parametrin estimointia varten ( estimoinnin todennäköisyysjakaumaa varten )
uskottava Bayesin intervalli ( en:Credible interval ) (mikä on posteriorinen todennäköisyys , että väli sisältää todellisen arvon).

Luottamuksellinen johtopäätös aiheutti nopeasti kiistaa, eikä sitä koskaan hyväksytty laajalti. Vastaesimerkkejä Fischerin lausunnoista julkaistiin pian. Ne ovat johtaneet epäilyihin "fiduciaalisen päättelyn" johdonmukaisuudesta tilastollisen päättelyn tai induktiivisen logiikan järjestelmänä . Muut tutkimukset ovat osoittaneet, että tapauksissa, joissa fiduciaalinen päätelmä johtaa "fiduciaaliseen todennäköisyyteen", kyseiseltä todennäköisyydeltä puuttuu additiivisuusominaisuus, joten se ei ole todennäköisyysmitta .

Tausta

Jotkut opiskelijat saattavat pitää γ :n peittämän luottamusvälin käsitettä pelottavana . . Tulkinta vaikuttaa todellakin melko hämmentävältä: kaikkien samalla menetelmällä laskettujen luottamusvälien joukossa γ -osuus sisältää arvioimamme todellisen arvon (ja siten 1 − γ -osuus ei sisällä sitä). Tämä on tulkinta toistuvasta näytteenotosta (tai taajuusnäytteenotosta ), mutta se ei ole yksiselitteisesti sovellettavissa taajuuden todennäköisyyteen . Muussa tapauksessa kyseinen todennäköisyys ei ole se todennäköisyys, että todellinen arvo osuu lasketun kiinteän välin sisälle.

Bayesin päättelyn avulla voit määrittää luotettavan Bayesin intervallin tuntemattomalle parametrille tietyllä todennäköisyydellä, että todellinen arvo osuu tähän väliin. Mutta hän käyttää kiistanalaista oletusta mahdollisuudesta asettaa tuntemattoman parametrin todennäköisyysjakauma jo ennen havaintojen alkamista (ns. aiempi todennäköisyysjakauma ). Fiducial-menetelmää on ehdotettu tämän puutteen poistamiseksi ja uuden tulkinnan tarjoamiseksi. Fiduaalinen todennäköisyys on mitta siitä, kuinka paljon voimme luottaa mihin tahansa tuntemattoman parametrin arvoon.

Fisher ei antanut yleistä määritelmää fiducial-menetelmälle ja kiisti sen universaalisuuden. Hän antoi esimerkkejä vain yhden parametrin tapauksessa. Myöhemmin useille parametreille rakennettiin erilaisia yleistyksiä. Quenouille (1958) on antanut suhteellisen täydellisen kuvauksen fiducial-päätelmästä. Katso uudempi keskustelu fiducial-päätelmästä Kendall & Stuart (1973) [2] .

Perusallokaatio

Fisher edellyttää riittävien tilastotietojen olemassaoloa fiducial-menetelmän soveltamiseksi. Oletetaan esimerkiksi, että riippumattomat havainnot jakautuvat tasaisesti aikavälille . Tällöin havaintojen maksimi ( ) on riittävä tilasto . Tilastojen ehdollinen jakauma ei todellakaan riipu arvosta : jos unohdamme kaikki tiedot paitsi , niin tämä vastaa tietämystä, että data sisältää mitä tahansa arvoja väliltä - eli sisältää kaiken saatavilla olevan tiedon. tiedoista . Toinen esimerkki riittävästä tilastosta on normaalijakauman keskiarvon otoskeskiarvo . $n$ $[0,\omega ]$ $n$ $X$ $\omega$ $X$ $\omega$ $X$ ${\näyttötyyli [0,X]}$ $X$ $\omega$

Jos tietylle , ota , niin $\alpha$ $a=(1-\alpha )^{\frac {1}{n))$

P\left(a<{\frac {X}{\omega }}\right)=1-a^{n}=\alpha

vuodesta .

P(X\leq x)=\left({\frac {x}{\omega }}\oikea)^{n}

Fisher väittää, että voimme kääntää viimeisen väitteen ja sanoa:

P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha

jossa ymmärretään nyt satunnaismuuttujaksi ja on kiinteä. Tällainen jakauma on viitejakauma , ja sitä voidaan käyttää vertailuvälien muodostamiseen. $\omega$ $X$ $\omega$

Tulos on identtinen en:pivotal-menetelmän luottamusvälin kanssa , mutta sen tulkinta on erilainen. Itse asiassa vanhemmat kirjat käyttävät termejä luottamusväli ja vertailuväli vaihdettavasti. Huomaa, että vertailujakauma määräytyy yksiselitteisesti, jos tilastoja on riittävästi.

Pivotal-menetelmä perustuu satunnaismuuttujaan, joka on sekä havaintojen että parametrien funktio, mutta jonka jakauma ei riipu parametrista. Tällöin tiedosta voidaan tehdä todennäköisyysperusteinen väite siten, että se ei riipu parametreista. Se voidaan kääntää ratkaisemalla parametrit samalla tavalla kuin yllä on esitetty. Tämä vastaa kuitenkin laskennallista menetelmää vain, jos keskeinen arvo on yksiselitteisesti määritetty riittävien tilastotietojen perusteella.

Voimme määritellä vertailuvälin yksinkertaisesti toiseksi nimeksi luottamusvälille ja antaa sille fiduusiaalisen tulkinnan. Mutta tällainen määritelmä ei ole yksiselitteinen. Fisher kiisti tämän tulkinnan oikeellisuuden: fiduciaalijakauma on määriteltävä yksiselitteisesti ja sen on käytettävä kaikkea otoksesta saatua tietoa.

Lähestymistila

Kun Fischer muotoili lähestymistavan, uskottava johtopäätös aiheutti nopeasti kiistaa. , eikä sitä koskaan otettu laajalti käyttöön. Vastaesimerkkejä Fischerin ideoille ilmestyi nopeasti.

Fisher myönsi, että "luottamuksellisessa päättelyssä" on ongelmia. Hän kirjoitti George A. Barnardille , että hän oli "epäselvä" yhdestä fiducial päättelyn ongelmasta. [3] Kirjeessään Barnardille Fischer valittaa, että hänen teoriallaan näyttää olevan vain "asymptoottinen likiarvo ymmärrettävyydelle". [3] Fischer myönsi myöhemmin: "En vieläkään ymmärrä, mikä fiduaalinen todennäköisyys on. Meidän on elettävä sen kanssa pitkään, ennen kuin tiedämme, kuinka se hyödyttää meitä. Mutta sitä ei pidä jättää huomiotta vain siksi, että meillä ei ole selkeää tulkintaa." [3]

Lindley näytti , että fiduaalitodennäköisyydeltä puuttuu additiivisuus, joten se ei ole todennäköisyysmitta . Cox huomautti [4] , että samat argumentit pätevät niin sanottuun "luottamusjakaumaan", joka liittyy luottamusväliin , joten tästä tehdyt johtopäätökset ovat kyseenalaisia. Fisher hahmotteli tuloksista "todistuksia" käyttämällä fiduciaalista todennäköisyyttä. Jos Fisherin fiducial-argumenteista tehdyt johtopäätökset eivät ole vääriä, paljon on osoitettu bayesialaisesta johtopäätöksestä johtuvan. Monet Fisherin fiducial-argumenttien todellisista implikaatioista voidaan johtaa myös Bayesilaiseen päätelmään. [2]

Vuonna 1978 Pederson kirjoitti, että "luottamusargumentilla on ollut hyvin vähän menestystä ja se on nyt käytännössä kuollut". [5] Davison [6] kirjoitti: "Useita yrityksiä on viime aikoina yritetty herättää henkiin fiducialismi, mutta nyt sillä näyttää olevan enemmän historiallista arvoa, erityisesti sen rajallisen kattavuuden suhteen, kun se asetetaan ajankohtaisten mallien rinnalle." Fiduciaalista päätelmää tarkastellaan kuitenkin Hannigin kahdessa viimeaikaisessa artikkelissa. [7] [8]

Muistiinpanot

↑ Quenouille (1958), luku 6
↑ 1 2 Kendall, MG, Stuart, A. (1973) The Advanced Theory of Statistics, Volume 2: Inference and Relationship, 3. painos , Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (luku 21)
↑ 1 2 3 Zabell, S. L. . R.A. Fisher ja Fiducial Argument , s. 369–387. Arkistoitu alkuperäisestä 19. helmikuuta 2017. Haettu 3. lokakuuta 2017. (sivu 381)
↑ Cox (2006) s.66
↑ Pederson, JG (1978), Fiducial Inference, International Statistical Review T. 46 (2): 147–170, MR : 0514060 .
↑ Davison, AC (2001) " Biometrika Centenary: Theory and general methodology" Biometrika 2001 (sivu 12 DM Tittertonin ja David R. Coxin toimittamassa julkaisussa )
↑ Hannig, J. (2009) "Generalized fiducial inference for wavelet regression" Biometrika , 96(4), 847-860.
↑ Hannig, J. (2009) "Yleistetystä fiducial-päätelmästä", Statistica Sinica , 19, 491-544

Kirjallisuus

Cox, D. R. (2006). Tilastollisen päättelyn periaatteet , CUP. ISBN 0-521-68567-2 .
Fisher, RA. Tilastolliset menetelmät ja tieteellinen päätelmä . - New York: Hafner, 1956.
Fisher, Ronald "Tilastolliset menetelmät ja tieteellinen induktio" J. Roy. tilasto. soc. Ser. B. 17 (1955), 69-78. ( Jerzy Neymanin ja Abraham Waldin tilastollisten teorioiden kritiikki fiducial -perspektiivistä)
Neyman, Jerzy . Huomautus Sir Ronald Fisherin artikkelista , s. 288–294. (vastaus Fisherille 1955, joka diagnosoi "luottamuksellisen päättelyn" virheellisen)
R. A. Fisher's Contributions to Mathematical Statistics (englanniksi) / Tukey, J W., toim. - New York: Wiley, 1950.
Quenouille, MH (1958) Tilastollisen päättelyn perusteet . Griffin, Lontoo
Young, GA, Smith, RL (2005) Essentials of Statistical Inference , CUP. ISBN 0-521-83971-8

Linkit

laskennallinen johtopäätös; arvostelu. Luku 4 D.Solomen opinnäytetyöstä, 1998.