Croftonin kaava

Croftonin kaava on klassinen integraaligeometrian tulos. Yhdistää käyrän pituuden viivojen leikkauspisteiden keskimääräiseen lukumäärään.

Nimetty Morgan Croftonin mukaan .

Sanamuoto

Antaa olla tasasuuntautuva tasokäyrä . Jos suora viiva , merkitse pisteiden lukumäärällä, joissa ja leikkaavat. Suunnattuja viivoja voidaan parametroida kulmalla valittuun suuntaan ja etumerkityn etäisyyden verran origosta . Sitten käyrän pituus on $\gamma$ $l$ $n_{\gamma }(l)$ $\gamma$ $l$ $l$ $\varphi$ $s$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\int \limits _{0}^{2\cdot \pi }d\varphi \cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }n_{\gamma }(\varphi ,p)\cdot dp.

Muistiinpanot

Differentiaalinen muoto $d\varphi \wedge dp$

on invariantti tason liikkeiden alla. Siten se tarjoaa luonnollisen toimenpiteen integraatiolle.

Croftonin kaava vastaa seuraavaa lausetta: Käyrän pituus on suoraan verrannollinen sen ortogonaalisten projektioiden keskimääräiseen pituuteen. Tässä tapauksessa projektion pituus lasketaan ottamalla huomioon monikertaisuus.

Sovellukset

Croftonin kaava todistaa seuraavat tulokset:

Jos suljettu tasokäyrä kiertää kuperan käyrän, niin tällä kuperalla käyrällä on lyhyempi pituus.
Barbierin lause : Vakioleveisellä käyrällä on kehä . $a$ $\pi \cdot a$
Isoperimetriset epäyhtälöt : Suljetuista käyristä, joilla on tietty kehä, ympyrän pinta-ala on suurin.
Jos pallomaisen käyrän pituus on pienempi kuin , niin se sijaitsee avoimella pallonpuoliskolla. Tämä väite on avain Fenchelin käyrän kääntölauseen todistukseen . $2{\cdot}\pi$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Buffonin neulanheitto-ongelma

Croftonin kaava yleistyy mihin tahansa Riemannin pintaan; integraatiossa käytetään luonnollista mittaa kiinteän pituisen geodesiikan avaruudessa.
- Esimerkiksi käyrän pituus yksikköpallolla on , jossa tarkoittaa käyrän ja suurten ympyröiden leikkauspisteiden keskimääräistä lukumäärää. $\pi \cdot n$ $n$

Radon-muunnos voidaan nähdä Croftonin kaavan yleistyksenä mittateoriassa.
Formula Santalo

Kirjallisuus

Tabachnikov, Serge Geometria ja biljardi . - AMS, 2005. - s . 36 -40. - ISBN 0-8218-3919-5 .
Santalo , L.A. Johdatus integraaliseen geometriaan . - 1953. - s. 12-13, 54.
Luento 19, Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matemaattinen suuntaaminen . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-731-7 .