Larmorin kaava

Larmorin kaavaa käytetään ei-relativistisen pistevarauksen kiihtyessä emittoiman kokonaistehon laskemiseen . Joseph Larmor hankki sen ensimmäisen kerran vuonna 1897 [1] valon aaltoteorian yhteydessä .

Kun mitä tahansa varattua hiukkasta (kuten elektronia , protonia tai ionia ) kiihdytetään, energia säteilee sähkömagneettisten aaltojen muodossa . Hiukkasnopeuksille, jotka ovat pieniä valonnopeuteen verrattuna , kokonaissäteilyteho saadaan Larmorin kaavasta:

P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c} }\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\ frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}

( SI yksikköä )

{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3))))

( CGS yksiköt )

missä tai on kiihtyvyys, on varaus, on valon nopeus, on sähkövakio . Relativistisen yleistyksen antavat Lienard-Wiechertin potentiaalit . ${\näyttötyyli {\piste {v))}$ $a$ $q$ $c$ $\varepsilon _{0}$

Missä tahansa yksikköjärjestelmässä yhden elektronin säteilemä teho voidaan ilmaista elektronin klassisena säteenä ja elektronin massana seuraavasti:

P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}

Yksi seuraus on, että ytimen ympäri kiertävän elektronin, kuten Bohrin mallissa , täytyy menettää energiaa, pudota ytimeen ja atomin on romahtanut. Tätä arvoitusta ei ratkaistu ennen kuin kvanttimekaniikka rakennettiin .

Johtopäätös

Lienard -Wiechertin potentiaalikaavalla liikkuvan varauksen sähkö- ja magneettikentät voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta ))}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\oikea)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\piste {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}

\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,

missä on varausnopeus jaettuna , on varauskiihtyvyys jaettuna c :llä , on suunnan yksikkövektori , on sädevektorieron moduuli , on varauksen sädevektori ja . Oikealla olevat termit arvioidaan viiveellä . ${\boldsymbol {\beta ))$ $c$ ${\displaystyle {\piste {\boldsymbol {\beta ))))$ $\mathbf {n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0))$ $R$ $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|$ $\mathbf {r} _{0}$ ${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2))$ $t_{\text{r}}=tR/c$

Oikea puoli on varautuneen hiukkasen nopeuteen ja kiihtyvyyteen liittyvien sähkökenttien summa. Ensimmäinen termi riippuu vain , kun taas toinen riippuu molemmista ja ja niiden välisestä kulmasta. Koska ensimmäinen termi on verrannollinen , sen itseisarvo pienenee erittäin nopeasti etäisyyden myötä. Toisaalta toinen termi on verrannollinen arvoon , mikä tarkoittaa, että sen absoluuttinen arvo pienenee paljon hitaammin etäisyyden myötä. Tästä johtuen toinen termi on säteilykenttä ja on vastuussa suurimmasta osasta kiihtyvän varauksen energiahäviöstä. ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\boldsymbol {\beta ))$ ${\displaystyle {\piste {\boldsymbol {\beta ))))$ $1/R^{2}$ $1/R$

Löydämme säteilyn energiavuon tiheyden laskemalla Poynting-vektorin :

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},

jossa alaindeksi "a" korostaa, että otamme vain toisen termin Lienard-Wiechertin kaavasta. Olettaen, että hiukkanen on levossa ajassa [2] , meillä on: $t_{\text{r))$

\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ piste {\boldsymbol {\beta }}}}}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .

Jos otetaan käyttöön - kulma kiihtyvyyden ja havaintovektorin ja kiihtyvyyden välillä , niin avaruuskulmayksikköä kohti säteilevä teho on yhtä suuri kuin $\theta$ $\mathbf {a} ={\piste {\boldsymbol {\beta ))}c$

d P d Ω = q 2 neljä π c synti 2 ⁡ ( θ ) a 2 c 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.}

{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a ^{2}}{c^{2}}}.

Kokonaissäteilyteho saadaan integroimalla tämä määrä kaikkien avaruuskulmien yli (eli yli ja ). Tämä antaa $\theta$ $\phi$

P = 2 3 q 2 a 2 c 3 , {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},

joka on Larmorin kaava ei-relativistiselle kiihdytetylle varaukselle. Se suhteuttaa hiukkasen emittoiman tehon sen kiihtyvyyteen. Siitä on selvästi nähtävissä, että mitä nopeammin varaus kiihtyy, sitä suurempi säteily on. Tämä saattaa olla odotettavissa, koska säteilykenttä riippuu kiihtyvyydestä.

Relativistinen yleistys

Kovarianttimuoto

Ei-relativistinen Larmor-kaava, joka on kirjoitettu liikemäärällä p , on muodossa (CGS-yksiköissä) [3]

P = 2 3 q 2 m 2 c 3 | s ˙ | 2 . {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\piste {\mathbf {p}} } } |^{2}.}

P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\piste {\mathbf {p}} } } |^{2}.

Tehon P voidaan osoittaa olevan Lorentzin invariantti . Siksi Larmorin kaavan minkä tahansa relativistisen yleistyksen täytyy liittää P johonkin muuhun Lorentzin invarianttisuureen. esiintyminen ei-relativistisessa kaavassa viittaa siihen, että relativistisesti oikean kaavan tulee sisältää 4-skalaari, joka saadaan ottamalla 4-kiihtyvyyden a μ = dp μ / d τ pistetulo itsensä kanssa (tässä p μ = (γ mc , γ m v ) − 4-impulssi ). Larmorin kaavan oikea relativistinen yleistys (CGS-yksiköissä) $|{\piste {\mathbf {p} }}|^{2}$

$P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dp_{\mu }}{ d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}.$

Voidaan osoittaa, että tämä konvoluutio määräytyy lausekkeen avulla

d s μ d τ d s μ d τ = β 2 ( d s d τ ) 2 − ( d s d τ ) 2 , {\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},} ${\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac { dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},$

ja siksi rajassa β ≪ 1 se pelkistyy arvoon , mikä toistaa ei-relativistisen tapauksen. $-|{\piste {\mathbf {p} }}|^{2}$

Ei-kovarianttimuoto

Yllä oleva konvoluutio voidaan kirjoittaa myös β :lla ja sen aikaderivaatalla. Sitten Larmorin kaavan relativistinen yleistys (cgs-yksiköissä)

$P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left[({\piste {\boldsymbol {\beta }}})^{2}-({\ lihavoitu symboli {\beta }}\times {\piste {\boldsymbol {\beta }}})^{2}\right].$

Tämä on Lienardin tulos , joka saatiin ensimmäisen kerran vuonna 1898. tarkoittaa, että kun Lorentz-tekijä on hyvin lähellä yksikköä (eli ), hiukkasen lähettämä säteily on merkityksetöntä. Kuitenkin, kuten , säteily kasvaa, samoin kuin , kun hiukkanen menettää energiansa sähkömagneettisten aaltojen muodossa. Lisäksi kun kiihtyvyys ja nopeus ovat ortogonaalisia, teho pienenee eli kertoimeksi tulee . Mitä nopeammin hiukkanen liikkuu, sitä suurempi tämä supistuminen tulee. $\gamma ^{6}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2))))$ $\beta \ll 1$ $\beta \rightarrow 1$ $\gamma ^{6}$ $1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}$ $\gamma ^{6}$ $\gamma ^{4}$

Muistiinpanot

↑ Larmor J (1897). "LXIII.Teoriasta magneettisesta vaikutuksesta spektreihin; ja liikkuvien ionien säteilystä . " Filosofinen aikakauslehti . 5. 44 (271): 503-512. DOI : 10.1080/14786449708621095 . Arkistoitu alkuperäisestä 2022-01-24 . Haettu 24.01.2022 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )Kaava mainitaan viimeisen sivun tekstissä.
↑ tapaus, jossa se on vaikeampaa. Sitä tarkastellaan esimerkiksi julkaisussa Griffiths, 2017 . $\beta \left(t_{\text{r))\right)\neq 0$
↑ Jackson, 1965 .

Kirjallisuus

J. Larmor, "On a Dynamic theory of the Electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) s. 205-300 (kolmas ja viimeinen samannimisessä artikkelisarjassa).
J. Jackson. Klassinen sähködynamiikka / I. G. Nakhimson. - Moskova, 1. Riga Lane, 2: Mir , 1965. - S. 212, 510.
Misner, Charles. Gravitaatio / Misner, Charles, Thorne, Kip S., Wheeler, John Archibald. - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
Landau L.D. , Lifshits E.M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
R. P. Feynman . Feynman Lectures on Gravitation / R. P. Feynman , F. B. Moringo, W. G. Wagner. - Addison-Wesley, 1995. - ISBN 0-201-62734-5 .
Griffiths, David J. Johdatus sähködynamiikkaan . – 4. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1-108-42041-9 . - doi : 10.1017/9781108333511 .