Stirlingin kaava

Matematiikassa Stirlingin kaava (myös Moivre-Stirling- kaava) on kaava tekijä- ja gammafunktion likimääräiseen laskemiseen . James Stirlingin ja Abraham de Moivren mukaan nimetty , jälkimmäistä pidetään kaavan [1] kirjoittajana .

Kaavan eniten käytetty versio:

\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).

Seuraava termi tässä on ; siis tarkempi arvio: $O(\ln n)$ ${\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)$

\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^ {n}}}=1,

joka vastaa

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Stirlingin kaava kirjoitetaan usein nimellä

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {\theta _{n}}{ 12n}},

missä ,. _ Tarkempi arvio saadaan kaavasta $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{ n}}},

missä ,. _ $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

Viimeisessä kaavassa maksimiarvo on itse asiassa pienempi kuin 1 ja on suunnilleen yhtä suuri kuin 0,7509. $\theta_n$

Stirlingin kaava on approksimaatio, joka saadaan faktoraalin laajentamisesta Stirling-sarjaksi , jolla on muoto $n>0$

{\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \sum _{ k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}=\\&={\sqrt {2\pi n}}\ vasen({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}- {\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n}} \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{ \frac {1}{(2^{3})(6n)^{2}}}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^ {3}}}-{}\oikea.\\&\qquad \vasen.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{ 4}}}+\cdots \right),\end{aligned}}

missä ovat Bernoulli-luvut numerolla . $B_j$ $j$

Tämä kaava käyttää ekvivalenssisymbolia tasa-arvon sijasta, koska sarja poikkeaa jokaisen kiinteän arvon kohdalla , mutta se on asymptoottinen faktoraalin laajennus . $n$ $n\to\infty$

Linkit

↑ Pearson, Karl (1924), Historiallinen huomautus normaalin virhekäyrän alkuperästä , Biometrika osa 16: 402–404 [s. 403] , DOI 10.2307/2331714 : "Stirling osoitti vain, että aritmeettinen vakio De Moivren kaavassa on . Uskon, että tämä ei tee hänestä lauseen kirjoittajaa." ${\sqrt {2\pi }}$

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen Britannica (verkossa)