Kaavat polynomien lyhennettyyn kertolaskuun

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Lyhennetyt polynomin kertolaskukaavat ovat yleisiä polynomin kertolaskutapauksia . Monet näistä ovat Newtonin binomiaalin erikoistapauksia . Opiskellaan lukiossa algebran kurssilla .

Neliöiden kaavat

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Kahden neliön ero

Jokainen kahden neliön ero voidaan esittää tulona kaavalla

a^{2}-b^{2}=(ab)(a+b)

Todiste

Lain matemaattinen todiste on monimutkainen. Soveltamalla jakautumislakia kaavan oikealle puolelle, saamme:

(a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2}

Kertomisen kommutatiivisuuden vuoksi keskitermit tuhoutuvat:

ba-ab=0

ja jää

{\näyttötyyli (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}}

Tuloksena oleva identiteetti on yksi matematiikassa yleisimmin käytetyistä. Monien sovellusten joukossa se tarjoaa yksinkertaisen todisteen kahden muuttujan aritmeettisesta keskiarvosta, geometrisesta keskiarvosta ja harmonisen keskiarvon epäyhtälöstä .

Todistus pätee missä tahansa kommutatiivisessa renkaassa .

Päinvastoin, jos tämä identiteetti pätee renkaassa R kaikille elementtipareille a ja b , niin R on kommutatiivinen. Tämän tarkistamiseksi sovellamme jakautumislakia yhtälön oikealle puolelle ja saamme:

{\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2))

Jotta tämä olisi tasa-arvoista , meillä on oltava $a^{2}-b^{2}$

ba-ab=0

kaikille pareille a , b , joten R on kommutatiivinen.

Kuutiokaavat

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
$\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^ {2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Neljännen asteen kaavat

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
$a^{4}-b^{4}=(ab)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (johdettu kohteesta ) $a^{2}-b^{2}$
$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2} }ab+b^{2})$

N: nnen asteen kaavat

$a^{n}-b^{n}=(ab)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+. ..+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2} -...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , missä $n\in N$
$a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{ 2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , missä $n\in N$

Kompleksiluvuilla

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$
$a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2} }b\oikea)\vasen(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\oikea)$
$a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(ab)(a-ib)$
$a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+ i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i }{\sqrt {2}}}b\right)$