Functor Hom

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kategoriateoriassa Hom - joukot (eli kahden objektin väliset morfismijoukot) mahdollistavat tärkeiden funktioiden määrittämisen joukkojen luokassa . Näitä funktoreita kutsutaan Hom-funktoreiksi ja niillä on lukuisia sovelluksia kategoriateoriassa ja muilla matematiikan aloilla.

Määritelmä

Olkoon C paikallisesti pieni luokka . Sitten mille tahansa sen objektille A , B määritetään seuraavat kaksi funktiota:

Hom( A ,-) : C → Set	Hom(-, B ): C → Set
Tämä on kovarianttifunktio, joka määritellään seuraavasti: Hom( A ,-) kartoittaa jokaisen luokan C kohteen X morfismien joukkoon Hom( A , X ) Hom( A ,-) kuvaa jokaisen morfismin f : X → Y funktioksi Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) annettuna $g\mapsto f\circ g$ jokaiselle g :lle Hom( A , X ).	Tämä on kontravarianttifunktio, joka määritellään seuraavasti: Hom(-, B ) kartoittaa jokaisen luokan C kohteen X morfismien joukkoon Hom( X , B ) Hom(-, B ) kuvaa jokaisen morfismin h : X → Y funktioksi Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) jonka antaa $g\mapsto g\circ h$ jokaiselle g :lle Hom( Y , B ).

Funktoria Hom(-, B ) kutsutaan myös kohteen B pistefunktoriksi .

On myös mahdollista määrittää kaksifunktion Hom ( -,-) arvosta C × C joukkoon, joka on kontravariantti ensimmäisessä argumentissa ja kovariantti toisessa. Tai vastaavasti funktionaali

Hom(-,-) : C op × C → Set

missä C op on C : n kaksoisluokka .

Sisäinen functor Hom

Joissakin luokissa on mahdollista määritellä funktori, joka on samanlainen kuin Functor Hom, mutta jonka arvot ovat itse kategoriassa. Tällaista funtoria kutsutaan sisäiseksi funktoriksi Hom ja se merkitään

{\text{hom}}(-,-):C^{{op}}\times C\to C

Luokkia , jotka sallivat sisäisen Hom-funktion, kutsutaan suljetuiksi luokiksi . Koska suljetussa kategoriassa (tässä I on suljetun luokan yksikkö), tämä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon $A\cong hom(I,A)$

{\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)

Suljetun monoidaalisen kategorian tapauksessa tämä voidaan laajentaa ns. curryukseen eli isomorfismiin

{\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)

missä on . $Y\Rightarrow Z$ ${\text{hom}}(Y,Z)$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Funktori muotoa Hom(-, C) : C op → Set on preheaf ; vastaavasti Hom(C, -) voidaan kutsua copresheafiksi.
Funktoria F : C → Jollekin objektille C asetettua luonnollisesti isomorfiseksi Hom(X, -) kutsutaan edustavaksi funtoriksi .
Hom(-, -) : C op × C → Joukko on profunktori , nimittäin identiteettipronktori . ${\text{id}}_{C}\colon C\noikeanuoli C$
Sisäinen funktori Hom säilyttää rajat ; nimittäin se ottaa rajoja rajoihin ja rajoja koliitteihin. Eräässä mielessä tätä voidaan pitää rajan tai koliitin määritelmänä. ${\text{hom}}(X,-):C\-C$ ${\text{hom}}(-,X):C^{{\text{op}}}\to C$
Funktori Hom on esimerkki vasemmanpuoleisesta tarkasta funktorista.

Katso myös

Muistiinpanot

S. McLane. Kategorioita työskentelevälle matemaatikolle, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Goldblatt, R. Topoi. Kategorinen logiikan analyysi, - M .: Mir, 1983. - 487 s.
Nathan Jacobson . Perusalgebra (epämääräinen) . – 2. - Dover, 2009. - Osa 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .