Krylov toimii

Krylov -funktiot ( Krylov-Duncan -funktiot [1] ) on neljän funktion järjestelmä, joka edustaa differentiaaliyhtälön yleistä ratkaisua :

${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=ay$ .

(yksi)

Yhtälön (1) yleinen ratkaisu ilmaistaan neljän funktion lineaarisena yhdistelmänä : $a\geq 0$

y(x)=C_{1}\cdot \operaattorinimi {K} _{1}(\beta x)+C_{2}\cdot \operaattorinimi {K} _{2}(\beta x)+ C_{3}\cdot \operaattorinimi {K} _{3}(\beta x)+C_{4}\cdot \operaattorinimi {K} _{4}(\beta x)

missä . $\beta ={\sqrt[{4}]{a))$

Yleensä , , ja käytetään funktioina , , , , mutta kimmoteorian ongelmissa käytetään erikoismuotoisia funktioita , , , joita kutsutaan Krylov-funktioiksi matemaatikon A. N. Krylovin kunniaksi , joka käytti näitä funktioita kuvaamaan taivutusta. joustavalla alustalla makaavan palkin [2] . Joskus niitä merkitään symboleilla , , , [3] . ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {K} _{1}(x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {K} _{2}(x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {K} _{3}(x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {K} _{4}(x)}$ $e^{x}$ ${\displaystyle e^{-x))$ $\sin x$ $\cos x$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {K} _{1}(x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {K} _{2}(x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {K} _{3}(x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {K} _{4}(x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {S} (x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {T} (x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {U} (x)}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {V} (x)}$

Ne esitteli itsenäisesti englantilainen tiedemies W. J. Duncan [4] .

Määritelmä

Krylov-funktiot ilmaistaan seuraavasti: [3]

\operaattorinnimi {K} _{1}(x)={\frac {1}{2}}(\operaattorinimi {ch} x+\cos x)

\operaattorinnimi {K} _{2}(x)={\frac {1}{2}}(\operaattorinimi {sh} x+\sin x)

\operaattorinnimi {K} _{3}(x)={\frac {1}{2}}(\operaattorinimi {ch} x-\cos x)

\operaattorinimi {K} _{4}(x)={\frac {1}{2}}(\operaattorinimi {sh} x-\sin x)

Krylov-funktioiden pääominaisuus on, että minkä tahansa niistä johdannainen antaa edellisen:

\operaattorinimi {K} _{1}(x)=\operaattorinimi {K} _{2}'(x)=\operaattorinimi {K} _{3}''(x)=\operaattorinimi {K} _{4}'''(x)=\operaattorinimi {K} _{1}^{IV}(x)

Lisäksi seuraavat alkuehdot täyttyvät: kohdassa , ensimmäinen funktio on yhtä suuri kuin 1 ja kaikki muut ovat yhtä suuria kuin 0: $x=0$

\operaattorin nimi {K} _{1}(0)=1

, .

\operaattorinimi {K} _{2}(0)=\operaattorinimi {K} _{3}(0)=\operaattorinimi {K} _{4}(0)=0

Krylov-Vlasov-funktiot

Kun , yhtälön (1) ratkaisu ilmaistaan funktioilla $a<0$

\operaattorinimi {\Phi } _{1}(x)=\operaattorinimi {ch} x\cdot \cos x

\operaattorin nimi {\Phi } _{2}(x)=\operaattorinimi {sh} x\cdot \sin x

\operaattorin nimi {\Phi } _{3}(x)=\operaattorinimi {sh} x\cdot \cos x

\operaattorin nimi {\Phi } _{4}(x)=\operaattorinimi {ch} x\cdot \sin x

joita kutsutaan Krylov-Vlasov-toiminnoiksi [5 ] V.Z. Vlasov . Yhtälön (1) yleinen ratkaisu on neljän funktion (at ) lineaarinen yhdistelmä, jossa . $a<0$ $\operaattorin nimi {\Phi } _{i}(\beta x)$ $i=1,2,3,4$ $\beta ={\sqrt[{4}]{-a/4))$

Useammin ongelmia ratkaistaessa käytetään erilaisia Krylov-Vlasov-funktioiden yhdistelmiä, joita kutsutaan myös Krylov-funktioiksi: [6] [7]

\operaattorinnimi {V} _{1}(x)=\operaattorinimi {ch} x\cdot \cos x=\operaattorinimi {\Phi } _{1}(x)

\operaattorinimi {V} _{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(\operaattorinimi {ch} x\cdot \sin x+\operaattorinimi {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{2}}\left(\operaattorinimi {\Phi } _{4}(x)+\operaattorinimi {\Phi } _{3}(x)\oikea)

\operaattorinnimi {V} _{3}(x)={\frac {1}{2}}\operaattorinimi {sh} x\cdot \sin x={\frac {1}{2}}\operaattorinnimi {\Phi }_{2}(x)

\operaattorinimi {V} _{4}(x)={\frac {1}{4}}\left(\operaattorinimi {ch} x\cdot \sin x-\operaattorinimi {sh} x\cdot \ cos x\right)={\frac {1}{4}}\left(\operaattorinimi {\Phi } _{4}(x)-\operaattorinimi {\Phi } _{3}(x)\oikea)

Krylov-funktioiden tärkeimmät ominaisuudet ovat melkein säilyneet tässä tapauksessa:

\operaattorinimi {V} _{1}(x)=\operaattorinimi {V} _{2}'(x)=\operaattorinimi {V} _{3}''(x)=\operaattorinimi {V} _{4}'''(x)=-{\frac {1}{4}}\operaattorin nimi {V} _{1}^{IV}(x)

\operaattorin nimi {V} _{1}(0)=1

, .

\operaattorinimi {V} _{2}(0)=\operaattorinimi {V} _{3}(0)=\operaattorinimi {V} _{4}(0)=0

Katso myös

Muistiinpanot

↑ I. A. Karnovsky, O. Lebed. 14.4.3 Krylov-Duncanin menetelmä // Kehittyneet rakenneanalyysimenetelmät . - 201. - S. 543-545. — 593 s. Arkistoitu 19. huhtikuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Yu.I. Vinogradov. Cauchy–Krylov toimii levyjen ja kuorien lujuuslaskelmissa . - 2013. - Nro 8 . - S. 15-19 . Arkistoitu alkuperäisestä 1. helmikuuta 2017.
↑ 1 2 Biderman V.L. Mekaanisten värähtelyjen teoria . - M . : Higher School, 1980. - S. 150. - 408 s. Arkistoitu 13. huhtikuuta 2013 Wayback Machinessa Arkistoitu kopio (linkki ei ole käytettävissä) . Haettu 10. joulukuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 13. huhtikuuta 2013. (määrätön)
↑ Duncan, WJ Jatkuvan säteen vapaat ja voimakkaat värähtelyt sisäänpääsymenetelmällä // Philosophical Magazine . - 1943. - Voi. 34 , no. 228 .
↑ Freidin A.S. Liimasaumojen lujuus ja kestävyys . - 2. versio. ja muita .. - M .: Chemistry, 1981. - S. 96-97. — 272 s.
↑ Boyarshinov S.V. §3. Lyhyet aksisymmetrisesti kuormitetut sylinterimäiset kuoret // Koneiden rakennemekaniikan perusteet . - M .: Mashinostroenie, 1973. - S. 326. - 456 s.
↑ Kolosova G.S. A. N. Krylovin funktioiden soveltaminen rakennemekaniikan ongelmien ratkaisemiseen // Ainutlaatuisten rakennusten ja rakenteiden rakentaminen. - 2013. Arkistoitu 2. helmikuuta 2017.

Kirjallisuus

Krylov A.N. Joustavalla alustalla makaavien palkkien laskemisesta. L.: AN SSSR, 1931. 154 s.