Weierstrass-toiminto

Weierstrass-funktio on esimerkki jatkuvasta funktiosta , jolla ei ole derivaattia missään ; vastaesimerkki Ampèren olettamukselle .

Weierstrass-funktio annetaan koko reaaliviivalla yhdellä analyyttisellä lausekkeella

w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x),

jossa on mielivaltainen pariton luku , joka ei ole yhtä suuri kuin yksi , ja on positiivinen luku , joka on pienempi kuin yksi. Tämä funktionaalinen sarja on pääsääntöisesti konvergentti numeerinen sarja $a$ $b$

\sum _{n=0}^{\infty }b^{n},

siksi funktio on määritelty ja jatkuva kaikille reaaliarvoille . Tällä funktiolla ei kuitenkaan ole johdannaista ainakaan for $w$ $x$

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.

Todistaaksesi derivaatan puuttumisen mielivaltaisessa pisteessä rakentamalla kaksi sekvenssiä ja konvergoimalla pisteeseen ja osoittamalla, että suhteet $x_{0}$ $\{x_{m}\}$ $\{y_{m}\}$ $x_{0}$

{\displaystyle {\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0))))

{\displaystyle {\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0))))

on erilaisia merkkejä ainakin milloin

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1

ja .

a>1

Nämä sekvenssit voidaan määritellä seuraavasti

{\displaystyle x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m))))

y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m))},

missä on lähin kokonaisluku . $\gamma _{m}$ ${\displaystyle a^{m}x_{0))$

Johdannan puuttuminen kaikissa kohdissa yleisemmissä olosuhteissa

ab\geqslant 1

a>1

perusti Hardy . [yksi]

Historiallinen tausta

Vuonna 1806 Ampère [2] yritti todistaa analyyttisesti, että jokainen "mielivaltainen" funktio on erotettavissa kaikkialla paitsi argumentin "poikkeuksellisissa ja eristyneissä" arvoissa. Samalla pidettiin ilmeisenä mahdollisuus jakaa argumentin muutosväli osiin, joissa funktio olisi monotoninen. Näillä varauksilla Amperen olettamusta voidaan pitää Lebesguen lauseen [3] ei-tiukkana muotoiluna . 1800-luvun ensimmäisellä puoliskolla Ampèren arvelu yritettiin todistaa laajemmalle luokalle, nimittäin kaikille jatkuville funktioille. Vuonna 1861 Riemann antoi kuulijoilleen seuraavan tehtävän vastaesimerkiksi:

r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2))},

tämän funktion differentiatiivisuuden tutkiminen on kuitenkin erittäin vaikeaa. Joseph Gerver osoitti , että tällä funktiolla on edelleen derivaatta joissakin rationaalisissa pisteissä vasta vuonna 1970 [ 4] .

Vuonna 1872 Weierstrass ehdotti omaa vastaesimerkkiään, yllä kuvattua funktiota , ja esitti tiukan todisteen sen erilaistumattomuudesta [5] . Tämä esimerkki ilmestyi ensimmäisen kerran painettuna vuonna 1875 P. Dubois-Reymondin teoksessa [6] . $w$

Toinen esimerkki johtuu van der Waerdenista (1930):

v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}},

jossa kiharat hakasulkeet tarkoittavat murto-osan ottamista. [7]

Muistiinpanot

↑ Hardy GH Weierstrassin erottumaton toiminto // Trans-Amer. Matematiikka. Soc 17 (1916), s. 301-325. Kuitenkin Weierstrass mainitsi tämän lausunnon myös kirjeessään Dubois-Reymondille vuonna 1873, katso: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moskova: Nauka, 1985. s. 229.
↑ Ampère, A. M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Kuva. F., S.-Nagy B. Luennot toiminnallisesta analyysistä. M.: Mir, 1979. S. 13.
↑ Gerver J. // American Journal of Mathematics, Voi. 92, nro. 1 (tammikuu 1970), s. 33-55 Arkistoitu 24. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa .
↑ Weierstrassin raportti, luettu Preussin tiedeakatemiassa 18. heinäkuuta 1872, julkaistu kokoelmateoksissa (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
↑ Du Bois-Reymond R. // J. fur Math., 79 (1875), s. 21-37; Weierstrass oli tämän lehden toimittaja ja raportoi vastaesimerkin Dubois-Reymondille 23. marraskuuta 1873 lähettämässään kirjeessä, katso: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moskova: Nauka, 1985. s. 229.
↑ Van der Waerden B. L. // Math. Zeitschr. 32 (1930), s. 474-475.

Kirjallisuus

Weierstrass K. Math. Werke . bd. 2. Berliini, 1895. Abh. 6.
Kuva. F., S.-Nagy B. Luennot toiminnallisesta analyysistä. M.: Mir, 1979.
Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moskova: Nauka, 1985.