Morse-funktio

Morse-funktio on tasainen funktio jakotukkissa , jossa on rappeutumattomia kriittisiä pisteitä .

Morsefunktiot syntyvät ja niitä käytetään Morse-teoriassa , joka on yksi differentiaalitopologian tärkeimmistä työkaluista .

Määritelmä

Antaa olla sileä monisto , jonka raja on disjoint unionin (mahdollisesti tyhjä) jakoputkia ja . Triadin Morse-funktio on sellainen sileä luokkafunktio , ( tai ) varten , että: $W$ $\osittainen W$ $F_{0}$ $F_{1}$ $(W;F_{0}, F_{1})$ $C^{2}$ $f:W\to [a,b]$ $-\infty <a,b<+\infty$ $f:W\to [a,\infty ]$ $F_{1}=\varnothing$

$F_{0}=f^{-1}(a),F_{1}=f^{-1}(b),$
kaikki funktion kriittiset pisteet sijaitsevat eivätkä ole rappeutuneet. $f$ $W\backslash \partial W=f^{-1}(a,b)$

Ominaisuudet

Jos jakotukki on äärellisulotteinen, niin Morse-funktioiden joukko saavuttaa minimin (globaalin) jokaisessa kytketyssä komponentissa. $W$ $k\geqslant 2$
Kaikkien -smooth ( ) -funktioiden avaruudessa $C^k$ $k\geqslant 2$ $f:(W,F_{0},F_{1})\to ([a,b],a,b)$

Morse-funktioiden joukko on tiheä avoin joukko [1] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Morse-funktiot yleistyvät luonnollisesti tasoittamaan Hilbertin täydellisiä (joidenkin metristen tensorien suhteen ) monistoja . Tämä edellyttää lisäehtoa:

(Pale–Smale-ehto) missä tahansa suljetussa joukossa, jossa funktio on rajoitettu ja funktion infimumi on yhtä suuri kuin nolla, funktiolla on kriittinen piste . $K\subset W$ $f$ $|df(x)|$ $f$

Tämä ehto täyttyy automaattisesti äärellisulotteisessa tapauksessa.

Tässä tapauksessa Morse-funktioiden joukko ei muodosta avointa joukkoa, vaan se on joukko 2. Baer-luokkaa

Katso myös

Kreivi Riba

Muistiinpanot

↑ V. Guillemin, A. Pollack , Differentiaalitopologia - Prentice-Hall, New York, NY, 1974.