Kreivi Riba

Graafiteoriassa funktion Reeb - graafi kuvaa funktion tasopintojen liitettävyyttä . Esitteli Georges Ribe [1]

Määritelmä

Tarkastellaan jatkuvaa funktiota , joka on määritetty kompaktille jakoputkelle , . Pisteen käänteiskuva on funktion tasainen pinta . Kahta pistettä kutsutaan ekvivalentiksi , jos ne kuuluvat samaan tasopinnan yhdistettyyn komponenttiin . $f:M\to R$ $y\in R$ $f^{-1}(y)\subset M$ $x,x'\in M$ $x\!\sim x'$ $f^{{-1}}(y)$

Funktion Reeb-graafi on moniston osamäärä suhteessa tällaiseen ekvivalenssirelaatioon , . Graafin kärjet ovat funktion kriittisten tasojen yhteydessä olevia komponentteja. Kuvaajan suunta määräytyy funktion gradientin suunnan mukaan . $f$ $M$ $G=M/\!\sim$ $G$ $f$

Ominaisuudet

Seuraavat Reebin graafin ominaisuudet todistettiin hänen tärkeässä työssään [1] :

Olkoon Morse - funktio f annettu tasausluokan kompaktiulotteiselle monistolle , jonka kaikki kriittiset pisteet vastaavat funktion eri kriittisiä arvoja . Tällaisten funktioiden joukko on avoin ja tiheä kaikkien funktioiden avaruudessa. Merkitse tämän funktion Reeb-graafia. Sitten: $n$ $C^{2}$ $\Gamma$

Kuvaajan asteen 1 kärjet vastaavat täsmälleen indeksien 0 ja n funktion f kriittisiä pisteitä . $\Gamma$
Jos funktion f kriittistä tasoa vastaavalla graafin kärjellä , joka sisältää indeksien 1 ja n-1 kriittisen pisteen , voi olla aste 2 tai 3 . $n\geq 3$
Jos , indeksin 1 kriittisiä pisteitä vastaavilla graafisilla pisteillä voi olla aste 2 , 3 tai 4 . $n\,=2$
Graafin kärjen aste, joka vastaa funktion f kriittistä tasoa, joka sisältää muun kriittisen indeksipisteen kuin 0 , 1 , n-1 ja n , on aina 2 .

Nämä graafin ominaisuudet sisältävät Morse-funktioiden omituisen ominaisuuden, joka on todistettu samassa paikassa [1] :

Merkitään kriittisten pisteiden joukolla indeksin k ja nk funktiot . Jos , niin . ${\displaystyle \Omega _{k))$ $n\geq 3$ $|\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2$

Sovellus

Reeb-kaavioita käytetään matematiikassa opiskelussa

Morsen funktioiden topologinen luokittelu [2]
Hamiltonin järjestelmät [3]

Reeb-graafit ja erityisesti asykliset Reeb-kaaviot, joita kutsutaan ääriviivapuiksi , ovat laajalti käytössä tietokonesovelluksissa:

tietokonesuunnittelussa ja geometrisessa mallintamisessa,
tietorakenteen geometrisissa malleissa ja tietokantahakumenetelmissä
suunnittelutöiden automatisointijärjestelmissä .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — CRAS Paris 222, 1946, s. 847-849. [1] Arkistoitu 9. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Sharko V.V. Tasainen ja topologinen funktioiden vastaavuus pinnoilla. // Ukrainian Mathematical Journal. 2003. V. 55. Nro 5. S. 687-700.
↑ A. V. Bolsinov, A. T. Fomenko, Johdatus integroitavien Hamiltonin järjestelmien topologiaan, Nauka, M., 1997.