Ketjuhomotoopia

Ketjuhomotopy - muunnelma " homotopian " käsitteestä algebrallisessa topologiassa ja homologisessa algebrassa

Määritelmä

Antaa olla ketjun monimutkainen moduulien (eli perheen moduulit ja modulaarinen homomorphisms ), ja olla ketju kartoituksia monimutkainen osaksi (eli, kuten homomorphisms että ). $C$ $C_{n}$ ${\displaystyle d_{n}\colon C_{n}\to C_{n-1))$ $f$ $g$ $C$ $C'$ $f_n$ ${\displaystyle d_{n}f_{n}=f_{n-1}d_{n))$

Ketjuhomotopia kartoitusten välillä ja on sellainen homomorfismien perhe , että $f$ $g$ $s_{n}\colon C_{n}\to C'_{n+1}$

s_{n-1}d_{n}+d'_{n+1}s_{n}=f_{n}-g_{n}.

Ominaisuudet

Jos kartoitukset ja ovat ketjuhomotooppisia, homologian indusoidut kartoitukset ovat yhtä suuret (jossa ). Todellakin, anna olla sykli, eli elementti . Sitten . Koska ja ovat ketjuhomotooppisia, sitten $f$ $g$ $H_{n}(C)\to H_{n}(C')$ $H_{n}(C)=\mathrm {Ker} \,d_{n}/\mathrm {Im} \,d_{n+1}$ $c\in C_{n}$ $\mathrm {Ker} \,d_{n}$ $d_{n}(c)=0$ $f$ $g$ $f_{n}(c)-g_{n}(c)=s_{n-1}d_{n}(c)+d'_{n+1}s_{n}(c)=d '_{n+1}s_{n}(c)$ ,

eli ne eroavat toisistaan reunan (elementti ) mukaan.

\mathrm {Im} \,d'_{n+1}

Useimmille homologiateorioille on todistettu, että topologisten tilojen homotooppiset jatkuvat kartoitukset indusoivat kompleksien ketjullisia homotooppisia kartoituksia ja, mikä on todistettu, identtisiä homologiaryhmien kartoituksia ( homotopian invarianssin aksiooma täyttyy ). $f,g\kaksoispiste X\Y:ksi$ $C(X)\to C(Y)$ $H(X)\to H(Y)$

Kirjallisuus

Wick J. W. Homologian teoria. Johdatus algebralliseen topologiaan. — M .: MTsNMO, 2005
Gel'fand SI, Manin Yu. I. Homologisen algebran menetelmät. Johdatus kohemologiaan ja johdetuihin kategorioihin. Osa 1. - M . : Nauka, 1989
Dold A. Luentoja algebrallisesta topologiasta. - M .: Mir, 1976
McLane S. Homology. - M .: Mir, 1966
Spanier E. Algebrallinen topologia. - M .: Mir, 1971