Kiertonumero

Dynaamisessa järjestelmäteoriassa , matematiikan haarassa , ympyrän suuntaa säilyttävän homeomorfismin kiertoluku on keskimääräinen "kiertojen lukumäärä iteraatiota kohti" pisteen pitkän iteraation aikana. Tarkemmin sanottuna se on (joskin määritellyn) "kierrosten määrän" ja iteraatioiden määrän välisen suhteen raja.

Määritelmä

Muodollista määritelmää varten ympyrän homeomorfismin sijaan harkitaan sen nostamista ympyrän peittämiseksi viivalla . Tämän nousun leikkausluku määritellään rajaksi $f:S^{1}\to S^{1}$ $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n)),

missä on mielivaltainen piste. Kiertoluku f määritellään sitten seuraavasti $x\in \mathbb {R}$

\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}

Ominaisuudet

Kiertoluku on suuntaa säilyttävän topologisen konjugaation invariantti ja jopa puolikonjugaatio asteen 1 mappauksilla: jos on asteen 1 kartoitus sellainen, että missä ovat ympyrän homeomorfismit, niin rotaatioluvut ja ovat samat. $h:S^{1}\to S^{1}$ $f\circ h=h\circ g$ $f,g$ $f$ $g$
Kuten Poincarén lause sanoo , kiertoluku on rationaalinen silloin ja vain, jos kartoituksella on jaksollinen piste.
Denjoyn lause sanoo, että jos kuvaus on C 2 -sileä ja sen kiertoluku on irrationaalinen, niin se konjugoidaan kierrokseen . $f$ $\rho (f)$ $f$ $\rho (f)$
Kierrosluku riippuu jatkuvasti homeomorfismista – kartoitus on jatkuvaa. $\rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}$

Kirjallisuus

Katok A. B. , Hasselblat B. Johdatus dynaamisten järjestelmien moderniin teoriaan / käänn. englannista. A. Kononenko mukana S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .