Epimorfismi

Kategorian epimorfismi on sellainen morfismi , johon jokainen yhtäläisyys merkitsee (toisin sanoen on voidaan peruuttaa oikealta). $m:A\B:hen$ $f\circ m=h\circ m$ $f=h$ $m$

Epimorfismit ovat surjektiivisen funktion käsitteen kategorinen analogi , mutta ne eivät ole sama asia. Epimorfismin käsitteen rinnalla on monomorfismin käsite ; Epimorfismia, joka on myös monomorfismi, kutsutaan bimorfismiksi .

Esimerkkejä

Jokainen tietyn kategorian morfismi, jota surjektiivinen funktio vastaa, on epimorfismi. Esimerkiksi ryhmien tai kaavioiden surjektiivinen homomorfismi . Monissa luokissa tilanne on myös päinvastainen. Tämä pätee esimerkiksi luokkiin joukot, ryhmät, Abelin ryhmät , vektoriavaruudet , oikeat moduulit ja topologiset avaruudet. Kuitenkin esimerkiksi renkaiden luokassa upotus on ei-surjektiivinen epimorfismi (ja lisäksi bimorfismi , joka ei ole isomorfismi ). $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$

Ominaisuudet

Mikä tahansa morfismi, jolla on oikea käänteiskohta, on epimorfismi. Todellakin, jos on olemassa sellainen morfismi , että , niin on helppo tarkistaa, että se on epimorfismi kertomalla yhtäläisyys oikealla . Kahden epimorfismin koostumus on jälleen epimorfismi. Jos kahden morfismin koostumus on epimorfismi, sen on oltava epimorfismi. $j:Y\to X$ $m\circ j=\mathrm {Id} _{Y}$ $m$ $f\circ m=h\circ m$ $j$ $m\circ j$ $m$

Kuten monet luokkateorian käsitteet, epimorfismi säilytetään kategoriaekvivalenssissa , se on epimorfismi yhdessä kategoriassa, jos ja vain jos se on epimorfismi toisessa. $m$

Epimorfismin määritelmä voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: - epimorfismi, jos ja vain, jos indusoitu kartoitus: $m:X\to Y$

{\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gm\end{matrix))

injektio kaikille . $Z$

Kirjallisuus

McLane S. Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions , Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .