Ydin (algebra)

Algebran ydin on kartoituksen ominaisuus , jota merkitään , heijastaen eroa injektiokartoituksesta , yleensä jonkin kiinteän (nolla, identiteetti, neutraali) elementin käänteiskuvien joukko . Tarkka määritelmä voi vaihdella, mutta injektiokartoituksessa joukon on aina oltava triviaali, eli sen on koostuttava yhdestä elementistä (yleensä neutraali elementti kohteesta ). $\f:A\nuoli oikealle B$ $\ker \,f$ $f$ $e$ $f$ $\ker \,f$ $A$

Jos joukoilla ja on jokin rakenne (esimerkiksi ne ovat ryhmiä tai vektoriavaruuksia ), silloin niillä on myös oltava tämä rakenne, kun taas homomorfismin päälauseen erilaiset formulaatiot yhdistävät kuvan ja tekijäjoukon . $A$ $B$ $\ker \,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $A/\ker \,f$

Lineaarinen kartoitusydin

Lineaarisen kuvauksen ydin on avaruuden nollaelementin käänteiskuva : $f:\,V\to U$ $U$

\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.

$\ker f$ on aliavaruus . Se sisältää aina tyhjäavaruuselementin . Perushomomorfismilauseen mukaan kuva on isomorfinen osamääräavaruuden kanssa ytimen suhteen : $V$ $V$ $f$ $V$ $f$

\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.

Näin ollen avaruuskuvan mitta on yhtä suuri kuin tilan ja kartoitusytimen mittojen välinen ero, jos ulottuvuus on äärellinen: $V$

\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,

ja minkä tahansa vektorin käänteiskuva määritellään ytimestä peräisin olevan vektorin lisäämiseen asti:

f^{{-1}}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U .

Mitä tahansa ytimen perustaa kutsutaan perusratkaisujärjestelmäksi .

Matriisiteoria

Mitä tahansa suorakaiteen muotoista matriisia , jonka koko on , joka sisältää kenttäelementtejä (erityisesti reaalilukuja ), voidaan ajatella lineaarisena operaattorina vektoreiden kertomiseksi vasemmalta matriisilla: $G$ $m\ kertaa n$ $K$ $g:{\mathbb {K}}^{n}\rightarrow {\mathbb {K}}^{m}$

g(v)=Gv,~~~v\in {\mathbb {K}}^{n}

Siten äärellisulotteisten lineaariavaruuksien teorian tulokset siirtyvät kokonaan matriisien kanssa työskentelyyn. Erityisesti lineaarinen yhtälöjärjestelmä tuntemattomien kanssa $n$

\left\{{\begin{matrix}a_{{11}}x_{1}+\ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~ \ldots ~~\\a_{{m1}}x_{1}+\ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}\right.

voidaan pitää vektorin esikuvan löytämisen ongelmana ja homogeenisen yhtälöjärjestelmän ( ) ratkaisemisen ongelma rajoittuu kuvauksen ytimen löytämiseen . ${\mathbf {b}}=(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})$ ${\mathbf {b}}={\mathbf {0}}$ $g$

Esimerkki

Olkoon lineaarinen kartoitus ja: $f$ $f:{\mathbb R}^{3}\to {\mathbb R}^{3}$

f({\vec {x)))={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{ 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.

Sitten sen ydin on vektorialiavaruus:

\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in {\mathbb R}^{3}\mid \lambda \in {\mathbb R} \oikea\}.

Ryhmähomomorfismi

Jos on homomorfismi ryhmien välillä , niin se muodostaa normaalin alaryhmän . $f$ $\ker f$ $A$

Sormushomomorfismit

Jos on homomorfismi renkaiden välillä , niin se muodostaa renkaan ihanteen . $f$ $\ker f$ $A$

Katso myös

kokerneli

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - Moskova: Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 .