Jacksonin ydin

Approksimaatioteoriassa Jacksonin ydin on -jaksollinen funktio, joka saadaan kaavalla: $2\pi$

$d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}} }}\oikea)^{4}$

Nimetty tiedemiehen mukaan, joka työskenteli approksimaatioiden ja trigonometristen polynomien teorian parissa - Dunham Jackson .

Tämä funktio on ydin , jonka konvoluutio antaa Fourier-sarjan osittaisen summan .

Jackson-ytimen vakio

Vakio määräytyy suhteesta ja on yhtä suuri kuin $\gamma_n$ $\int \limits _{\mathbb {T} }{d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]$ $\gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Todiste

Käytämme Parsevalin yhtälöä avaruuden L 2 tapauksessa :

Jos , niin seuraava identiteetti on totta: ${\displaystyle f\in \mathbb {L} _{2))$ $\int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum \limits _{n= 0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}\right)$

On välttämätöntä korvata tämä tasa-arvo $f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

Ensin sinun on kirjoitettava lauseke Fejér - ytimen ja Dirichlet-ytimen käyttöä varten : $\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}$

$\Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\ sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{D_{ k}(t)}=$
$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1 }{2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}$

Seuraa, että

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}=2\pi n {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2} }+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt))))$

Vaihtamalla kaksi summaa ja soveltamalla indekseille sopivaa muunnosa, saamme:

$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}\right)^{2}=n+2\ summa \limits _{j=1}^{n-1}\sum \limits _{k=1}^{nj}{\cos {jt}}=n+\sum \limits _{j=1}^{ n-1}{(nj)\cos{jt}}$

Lisäksi on ilmeistä, että tuloksena olevan trigonometrisen polynomin kertoimet ovat sen summan Fourier-kertoimia , eli $a_{0}=2n,a_{k}=kj(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0$

Jää vain korvata nämä kertoimet integraalin vastaavassa lausekkeessa:

$\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\oikea) ^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\sum \limits _{j=1}^{n-1}{\left(nj\right)^{2}}\oikea) =\pi \left(2n^{2}+4\sum _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4 \left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\right)\right)=$
$=\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n( 2n^{2}+1)}{3}}$
Siten, korvaamalla Jackson-ytimen perusidentiteetin, voimme saada lausekkeen vakiolle: Siten väite vakiosta on todistettu.
$\gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2))}{\sin { \frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Katso myös

Kirjallisuus

AV Efimov. Jackson Singular Integral (linkki ei saatavilla) (2001). Haettu 11. lokakuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 2. lokakuuta 2010. (määrätön)
A. Shadrin. Approksimaatioteoria – Luento 9 (Cambridgen yliopisto - Sovellettavan matematiikan ja teoreettisen fysiikan laitos) (pääsemätön linkki) (2005). Haettu 11. lokakuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 5. kesäkuuta 2011. (määrätön)
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometrinen Fourier-sarja ja approksimaatioteorian elementit. - L . : Kustantaja Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Bari N.K. Trigonometrinen sarja . - Moskova: Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustantaja, 1961. - S. 936 .
D. Jackson. Approksimaatioteoria. — Amer. Matematiikka. Soc., 1930.