Jackson-Stechkinin epätasa-arvo

Jackson-Stechkin-epäyhtälö yhdistää funktion jonkin funktioluokan parhaan approksimoinnin arvon tämän funktion ominaisuuksiin, yleensä tämän funktion jatkuvuusmoduulin arvoon tietyssä pisteessä. Esimerkki:

E_{n}(f)_{L^{2}}<K\omega _{f}(\delta ).

Esimerkissä funktion parhaan approksimaation arvo avaruuden astepolynomeilla estimoidaan ylhäältä funktion jatkuvuusmoduulin arvon kautta pisteessä . Suuruutta kutsutaan Jacksonin vakioksi . Kysymys tämän suuren pienimmästä arvosta (noin "tarkasta Jacksonin vakiosta") on yleensä erittäin vaikea. Tapauksissa, joissa se on ratkaistavissa, minimivakiota , jolle epäyhtälö pysyy voimassa, kutsutaan Chernyh-pisteeksi , jonka löytäminen ei myöskään ole triviaalia. $f$ $n$ $L^{2}$ $f$ $\delta$ $K$ $\delta$

Historia

Ensimmäistä kertaa tämäntyyppisen epäyhtälön sai D. Jackson ( englanniksi Dunham Jackson ) vuonna 1911 jaksollisten funktioiden approksimoinnin tapauksessa trigonometristen polynomien avulla . Hän osoitti sen

E_{n}(f)\leqslant c\omega \left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{r}}{n^{r}}}\omega \left(f^{(r)},\;{\frac {1} {n}}\oikea).

Tässä on funktion parhaan approksimaation arvo yhtenäisessä metriikassa trigonometrisilla astepolynomeilla . Ensimmäisessä epäyhtälössä funktion oletetaan olevan jatkuva ja toisessa - kertaa differentioituva. $E_{n}(f)$ $f$ $n-1$ $f$ $r$

Vuonna 1945 Sigmund sai samanlaisia epäyhtälöitä käyttämällä toisen asteen jatkuvuusmoduulia, vuonna 1947 akateemikko S. N. Bernshtein pystyi käyttämään jatkuvuusmoduulia . Vuonna 1949 S. B. Stechkin yleisti kaikki aikaisemmat tulokset ja totesi (toisella menetelmällä kuin Jackson), että $k$

E_{n}(f)\leqslant c_{k}\omega _{k}\left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{k+r}}{n^{r}}}\omega _{k}\left(f^{(r)},\; {\frac {1}{n}}\right).

Tässä vakiot eivät ole riippuvaisia , tai . Tämän seurauksena kotimaisessa kirjallisuudessa epätasa -arvoa alettiin kutsua Jackson -Stechkin-epätasa- arvoksi, ja samanlaisia epätasa-arvoja alettiin kutsua Jackson-Stechkin-tyyppisiksi epätasa-arvoiksi . $c_{k}$ $f$ $n$ $r$

Vuonna 1961 N.P. Korneichuk osoitti tarkan Jacksonin vakion ensimmäisessä epäyhtälössä:

E_{n}(f)<1\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n))\right).

Vuonna 1967 Stechkin sai Jacksonin epätasa-arvon avaruudessa kaikille : $L_{p}$ $p\in [1,\;\infty )$

E_{n}(f)_{p}<{\frac {3}{2}}\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n}}\right) _{p}.

Myöhemmin suuri joukko matemaatikoita eri maissa osallistui tähän aiheeseen (ja harjoittaa sitä edelleen), samanlaisia epäyhtälöitä saatiin eri avaruuksille , jatkuvuusluokille ja -moduuleille .