Banach-rajat

Lineaarifunktiota kutsutaan Banach-rajaksi , jos seuraavat 3 ehtoa täyttyvät: 1) [Huomautus 1] $\mathrm\Beta\in l_{\infty}^{*}$
$B(\mathbf{1})=1$

2) mille tahansa $B\ge 0$ $x\geq 0$

3) mille tahansa , jossa on vuorooperaattori, joka toimii seuraavasti: $B(Tx)=B(x)$ $x\in l_{\infty}$ $T$ $T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_2,x_3,...)$

Tällaisten rajojen olemassaolon todisti Stefan Banach [1] . Määritelmästä seuraa, että ja jos sekvenssi konvergoi . Banach-rajojen joukko on merkitty . on kupera suljettu joukko avaruuden yksikköpallolla . Kolmion epäyhtälöstä seuraa, että mille tahansa epäyhtälö on totta . Jos ja ovat joukon ääripisteitä , niin [2] . $\|B\|_{l_{\infty}^{*}}=1$ $B(x_1,x_2,...)=\lim_{n \to \infty}x_n$ $x_1,x_2,...$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ $l_{\infty}^{*}$ $B_1,B_2\in\mathfrak{B}$ $\|B_1-B_2\|\le2$ $B_1$ $B_{2}$ ${\mathfrak {B}}$ $\|B_{1}-B_{2}\|=2$

Lemma 1

Useat Banach-rajat ovat vertaansa vailla, eli jos , niin [3] . $B_1(x)\le B_2(x) \quad \forall x\in l_{\infty} \quad x\ge 0$ $B_1(x)=B_2(x)$

Todiste

Jos joillekin . Otetaan _ $B_1(u)\le B_2(u)$ $u\in l_{\infty} \quad u\ge 0 \quad\Rightarrow\quad \forall \lambda > 0 \quad u\ne 0 \quad B_1(\lambda u) < B_2(\lambda u)$ $0 < \lambda < \frac{1}{\|u\|} \quad\Rightarrow\quad 0 \le \lambda u \le \mathbf{1} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{1}-\lambda u\ge 0$ $B_1(\mathbf{1}-\lambda u)=1-B_1(\lambda u)>1-B_2(\lambda u)=B_2(\mathbf{1}-\lambda u)$

Saamme ristiriidan, joka todistaa lemman [3] .

Lause 1

Funktionaali voidaan esittää muodossa ( ) jos ja vain jos , milloin $f\in l_{\infty}^{*}$ $f=B_1-B_2$ $B_1,B_2\in\mathfrak{B}$

$f(Tx)=f(x)$ kaikille $x\in l_{\infty}$
$f(\mathbf{1})=1$
$\|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 2$

Jotta tämä esitys olisi ainutlaatuinen ilmoitetuissa olosuhteissa, on välttämätöntä ja riittävää, että [3] . $\|f\|_{l_{\infty}^{*}}=2$

Todiste

Ehtojen tarve 1.-3. seuraa Banachin rajojen määritelmästä. Riittävyyden todistamiseksi määrittelemme toiminnallisuuden

g=\max(f,0)=\sup_{0\le u\le x}f(u)\quad g\in l_{\infty}^{*}\quad g\ge 0 \quad\forall x \le0

Ominaisuuksien käyttö 1.-3. saamme:

g(\mathbf{1})=\sup_{0\le u\le \mathbf{1}}f(u)=\sup_{0\le u+\frac{1}{2}\mathbf{1}\ le \mathbf{1}}f(u+\frac{1}{2}\mathbf{1})=\sup_{-\frac{1}{2}\mathbf{1}\le u\le\frac{ 1}{2}\mathbf{1}} (f(u)+\frac{1}{2}f(\mathbf{1}))=\sup_{\left | u \right |\le\frac{1}{2}\mathbf{1}} f(u)=\frac{1}{2}\|f\|_{l_{\infty}^{*}} \le 1

Sillä se on totta

B\in\mathfrak{B}

B_1=g+(1-\frac{\|f\|}{2})B\ge 0 \qquad B_1(Tx)=B_1(x) \qquad B_1(\mathbf{1})=1

siis Banach-raja. Sama pätee toiminnallisiin . Rakentamisen mukaan . Osoittakaamme tällaisen esityksen ainutlaatuisuus . Anna klo . $B_1$ $B_2=B_1-f=g-f+(1-\frac{\|f\|}{2})B$ $B_1-B_2=f$ $\|f\|=0$ $f=B_1-B_2$ $\|f\|=0$

B_1=f+B_2 \neliö B_2=f-B_1

B_1\ge 0 \quad B_1\ge 0 \Oikea nuoli B_1\ge f \quad B_2\ge f

B_1\ge \max(f,0) \quad B_2\ge \max(-f,0)

Edellä on todistettu , että samanlainen päättely osoittaa, että . Lemmalla 1 saamme $max(f,0)\in\mathfrak{B}$ $max(-f,0)\in\mathfrak{B}$

B_1=\max(f,0) \quad B_2=\max(-f,0)

Lause on todistettu [3] .

Lähes lähentymisen käsite

Annetuille , , mille tahansa $a\in\R^1$ $x\in l_{\infty}$ $\mathrm\Beta\in \mathfrak{B}$

B(x)=a\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k=a

yhtenäisesti [4] mukaisesti . Viimeistä yhtälöä kutsutaan Lorentzin kriteeriksi . Sitä voidaan jalostaa seuraavasti [5] : $m\in\N$

\lim_{n \to \infty}\inf_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k\le B(x)\le \lim_{n \to \infty}\sup_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k

Sekvenssiä kutsutaan melkein suppenevaksi numeroon , jos kaikkien tämän sekvenssin Banach-rajojen arvot ovat yhtä suuret . Käytetään seuraavaa merkintää: . Lähes suppenevien sekvenssien joukko on merkitty . on lineaarinen ei - erottava avaruus, suljettu eikä missään tiheä . Joukko sarjoja, jotka lähes konvergoivat numeroon, merkitään . On selvää, että mille tahansa [3] . $x\in l_{\infty}$ $a\in\R^1$ $a$ $Lim\,x_k=a$ $ac$ $ac$ $l_{\infty}$ $s$ $ac_s$ $ac_s\subset ac$ $s$

Esimerkki

Sarjalla ei ole tavallista rajaa , mutta . Tasa-arvon tarkistamiseksi voit käyttää Lorentz-kriteeriä tai tämän sekvenssin ominaisuutta: . $x=(1,0,1,0,...)$ $Lim\,x=\frac{1}{2}$ $x_k=1-x_{k+1}$

Lim\,x_k=Lim\,(\mathbf{1}-x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_k

On myös mahdollista käyttää seuraavaa lemmaa:

Lemma 2

Mikä tahansa jaksollinen sarja lähes konvergoi lukuun, joka on yhtä suuri kuin jakson arvojen aritmeettinen keskiarvo [3] .

Ominaiset funktiot

Rademacher-järjestelmä on funktiosarja

r_n(t)=\sgn\sin(2^n\pi t) \quad n\in\N \quad t\in[0,1]

Jokaiselle voidaan määrittää toiminto $B\in\mathfrak{B}$

f_B(t)=B(r_n(t))

jota kutsutaan Banach-rajan ominaisfunktioksi . on kompleksiarvoinen funktio [6] . $B$ $f_B$

Lause 2

Jos ja kaikille , niin kaikille [6] . $A,B\in\mathfrak{B}$ $f_A(t)\le f_B(t)$ $t\in(0,1)$ $A=B$ $x\in l_{\infty}$

Tunnistefunktioiden ominaisuudet

Anna sitten $A,B\in\mathfrak{B}$

$f_B(t)$ on jaksollinen, ja jakso on mikä tahansa binaarinen rationaalinen luku alkaen $(0,1)$
$f_B(t)=f_B(\frac{t}{2})$ mille tahansa $t\in(0,1)$
$\forall \lambda \in [0,1] \, \exists \, x \in 2^\N \cap ac$ , joka mille tahansa ja $B(x) = \lambda$ $B \in \mathfrak{B}$ $Im \, f_B = [-1,1]$
graafi on tiheä suorakulmiossa $f_B$ $[0,1] \ kertaa [-1,1]$
$f_B(t)+f_B(1-t)=0$ kaikille $t\in(0,1)$

[6]

Lähteet

↑ Stefan Banach, 1932 .
↑ E. Semenov ja F. Sukotšev .
↑ 1 2 3 4 5 6 Usachev A.A., 2009 .
↑ Lorentz GG, 1948 .
↑ Sucheston L., 1967 .
↑ 1 2 3 E.M. Semenov, F.A. Sukochev, 2010 .

Muistiinpanot

↑ Tässä ja alla tarkoitamme sarjaa $\mathbf{1}$ $(1, 1, 1,...)$

Kirjallisuus

Stefan Banach . Teoria Operations Lineaires. - Varsova , 1932.
SYÖDÄ. Semenov, F.A. Sukochev. Banach-rajojen ominaisfunktiot // Siberian Mathematical Journal. - 2010. - T. 51 , nro 4 . (Venäjän kieli)
E. Semenov ja F. Sukochev. Banach-rajojen joukon ääripisteet .
Lorentz GG Osallistuminen divergenttien sekvenssien teoriaan. - Acta Math, 1948. - S. 167-190. (Englanti)
Usachev A.A. Lähes konvergenttien sekvenssien avaruus ja Banach-rajat / E.M. Semjonov. - Voronezh: VGU , 2009. - 93 s.
Sucheston L. Banach limits (englanti) // Amer. Matematiikka. Kuukausittain. - 1967. - Voi. 74, nro. 3 . - s. 308-311. (Englanti)