Numerosarjan raja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Numeerisen sekvenssin raja on numeerisen avaruuden elementtisarjan raja. Lukuavaruus on metriavaruus , jossa etäisyys määritellään elementtien välisen eron moduuliksi. Siksi numeroa kutsutaan sekvenssin rajaksi, jos jollekin on olemassa numero riippuen , Niin että jokaiselle epätasa-arvo pätee . $a$ $\{x_n\}$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepsilon$ $\varepsilon$ $n > N_\varepsilon$ $\ |x_n - a| < \varepsilon$

Kompleksilukujen tapauksessa sekvenssin rajan olemassaolo vastaa kompleksilukujen reaali- ja imaginaariosien vastaavien sarjojen olemassaoloa.

Raja (numeerisen sekvenssin) on yksi matemaattisen analyysin peruskäsitteitä . Jokainen reaaliluku voidaan esittää halutun arvon likiarvojen sarjan rajana. Numerojärjestelmä tarjoaa tällaisen parannussarjan. Kokonaisluvut ja rationaaliluvut kuvataan approksimaatioiden jaksollisilla sarjoilla, kun taas irrationaaliset luvut kuvataan ei-jaksollisilla approksimaatiosarjoilla. [1] Numeerisissa menetelmissä , joissa käytetään lukujen esittämistä äärellisellä määrällä merkkejä, approksimaatiojärjestelmän valinnalla on erityinen rooli. Approksimaatiojärjestelmän laadun kriteeri on lähentymisnopeus. Tässä suhteessa lukujen jatkuva murto -esitys osoittautuu tehokkaiksi .

Historia

Sarjan rajan käsitettä käyttivät Newton 1600- luvun jälkipuoliskolla ja 1700- luvun matemaatikot , kuten Euler ja Lagrange , mutta he ymmärsivät rajan intuitiivisesti. Ensimmäiset tiukat määritelmät sekvenssin rajalle antoivat Bolzano vuonna 1816 ja Cauchy vuonna 1821 .

Määritelmä

Lukua kutsutaan numeerisen sekvenssin rajaksi, jos jono on äärettömän pieni, eli kaikki sen alkiot joistakin alkaen ovat pienempiä kuin mikään ennalta otettu positiivinen luku absoluuttisena arvona. $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_{n}-a\}$

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

(pienelle epsilonille on olemassa luku, josta alkaen sekvenssin elementit eroavat rajasta vähemmän kuin epsilonilla)

Jos luku on numeerisen sekvenssin raja, sekvenssin sanotaan myös suppenevan arvoon . Jos sarjan rajana ei ole reaalilukua , sitä kutsutaan divergentiksi . $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $a$ $\{x_n\}$

Joidenkin sekvenssien rajana oletetaan olevan ääretön . Nimittäin sanotaan, että jonolla on taipumus äärettömyyteen , jos jollakin reaaliluvulla kaikki sekvenssin jäsenet, alkaen joistakin, osoittautuvat itseisarvoltaan suuremmiksi kuin tämä luku. Muodollisesti $\{x_n\}$

\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E

Lisäksi, jos kaikilla äärettömyyteen pyrkivän sekvenssin elementeillä, alkaen tietystä luvusta, on positiivinen etumerkki, he sanovat, että tällaisen sekvenssin raja on plus ääretön .

\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E

Jos äärettömyyteen pyrkivän sekvenssin alkioilla, alkaen tietystä luvusta, on negatiivinen etumerkki, niin he sanovat, että tällaisen sekvenssin raja on yhtä suuri kuin miinus ääretön .

\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E

Mikä tahansa sekvenssi, joka pyrkii äärettömyyteen, on rajaton . Käänteinen ei kuitenkaan pidä paikkaansa.

Jakson osaraja on yhden senosasekvenssin raja .

Jakson yläraja on suurin sen rajapisteistä (joka vastaa suurinta osarajaa).

Sarjan alaraja on sen rajapisteistä pienin.

Merkintä

Se tosiasia, että sarja konvergoi numeroon , osoitetaan jollakin seuraavista tavoista: $\{x_n\}$ $a$

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$

tai

$x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$

Ominaisuudet

Reaalilukujen sarjojen rajalle on olemassa tiettyjä ominaisuuksia . [2]

Vaihtoehtoisia määritelmiä sarjan rajalle voidaan antaa. Esimerkiksi kutsua rajaksi luku missä tahansa naapurustossa, jonka sekvenssissä on äärettömän monta elementtiä, kun taas tällaisten naapureiden ulkopuolella elementtejä on vain äärellinen määrä. Näin ollen sekvenssin raja voi olla vain sen elementtijoukon rajapiste. Tämä määritelmä on yhtäpitävä topologisten avaruuksien rajan yleisen määritelmän kanssa.

Tässä määritelmässä on väistämätön puute: se selittää, mikä raja on, mutta ei anna tapaa laskea sitä, eikä tietoa sen olemassaolosta. Kaikki tämä johdetaan seuraavista (määritelmän mukaan todistettavissa olevista) rajan ominaisuuksista.

Ominaisuudet

Rajan ainutlaatuisuus.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Aritmeettiset ominaisuudet

numeerisen sekvenssin rajan ottaminen on lineaarinen , eli sillä on kaksi lineaarisen kuvauksen ominaisuutta.
- Additiivisuus . Numeeristen sekvenssien summan raja on niiden rajojen summa , jos jokainen niistä on olemassa. $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$
- Yhdenmukaisuus . Vakio voidaan ottaa pois rajamerkin alta. $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$
Numeeristen sekvenssien tulon raja kerrotaan rajojen tulolla, jos jokainen niistä on olemassa. $\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$
Numeeristen sekvenssien suhteen raja on niiden rajojen suhde, jos nämä rajat ovat olemassa ja jakajajono ei ole äärettömän pieni. $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n }}{\lim \limits _{{n\to \infty }}y_{n}}}$

Tilaa Preservation Properties

Jos kaikki suppenevan sekvenssin alkiot jostain luvusta alkaen eivät ylitä jotakin lukua, ei myöskään tämän sekvenssin raja ylitä tätä lukua. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Jos jokin luku ei ylitä konvergentin sekvenssin kaikkia alkioita, alkaen jostain luvusta, se ei myöskään ylitä tämän sekvenssin rajaa. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Jos jokin luku ylittää tiukasti konvergentin sekvenssin kaikki alkiot, alkaen jostain numerosta, tämän sekvenssin raja ei ylitä tätä lukua. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Jos kaikki suppenevan sekvenssin alkiot jostain luvusta alkaen ylittävät tiukasti jonkin luvun, tämä luku ei ylitä tämän sekvenssin rajaa. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Jos jostakin luvusta alkaen kaikki yhden suppenevan sekvenssin alkiot eivät ylitä toisen suppenevan sekvenssin vastaavia alkioita, niin ensimmäisen sekvenssin raja ei ylitä toisen rajaa. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$
Numeerisille sarjoille pätee kahden poliisin lause (kaksipuolisen rajoituksen periaate). $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \z \to leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Muut ominaisuudet

Suppenevalla numerosarjalla on vain yksi raja. $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b$

Sulkeminen . Jos kaikki suppenevan numeerisen sekvenssin elementit sijaitsevat tietyllä segmentillä , niin sen raja on myös samassa segmentissä. $\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]$

Saman numeron sarjan raja on yhtä suuri kuin tämä luku. $\lim_{n \to \infty} x = x$

Konvergentin numeerisen sekvenssin äärellisen määrän elementtien korvaaminen tai poistaminen ei vaikuta sen rajaan.

Ylhäältä rajatulla nousevalla sekvenssillä on raja. Sama pätee alenevaan sekvenssiin.
Alla rajatun äärettömän suuren sekvenssin tulo on äärettömän suuri sarja.

Stolzin lause pätee .

Jos sekvenssillä on raja, niin aritmeettisten keskiarvojen sekvenssillä on sama raja (seuraus Stolzin lauseesta). $x_n$ $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$

Jos lukujonolla on raja ja jos kullekin on annettu funktio , joka on määritelty ja jatkuva pisteessä , niin $\{x_n\}$ $x$ $f(x)$ $x_{n}$ $x$ $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Esimerkkejä

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

$\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

$\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a))))_ {n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

$\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

$\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{x_n}$

$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

$\n olemassa \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

Kompleksilukujen tapaus

Kompleksilukua kutsutaan sekvenssin rajaksi, jos mille tahansa positiiviselle luvulle on mahdollista määrittää sellainen luku , josta alkaen kaikki tämän sekvenssin alkiot täyttävät $a$ $\{z_n\}$ $\varepsilon$ $N=N(\varepsilon)$ $z_n$
$|z_n - a|< \varepsilon$ $n\geqslant N(\varepsilon )$

Jakson , jolla on raja, sanotaan suppenevan numeroon , joka kirjoitetaan muodossa . $\{z_n\}$ $a$ $a$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$

Esimerkkejä

Kaikilla rajoitetuilla sarjoilla ei ole rajaa. Jos esimerkiksi otamme avaruudeksi joukon reaalilukuja , joilla on vakiotopologia, ja sekvenssiksi , niin sillä ei ole rajaa (se voi kuitenkin löytää ylä- ja alarajat , eli alisekvenssiensä rajat - osittaiset rajat ). $x_n$ $x_n = (-1)^n$ $yksitoista$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Tämä tarkoittaa lukujen toistamista luvun merkinnöissä jossain kiinteässä numerojärjestelmässä.
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Luku 3. Rajateoria // Matemaattinen analyysi / Toim. A. N. Tikhonova . - 3. painos , tarkistettu ja ylimääräistä - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68-105. — 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .