Jakso

Matematiikassa sekvenssi on joidenkin objektien numeroitu joukko, joiden joukossa toistot ovat sallittuja ja objektien järjestyksellä on väliä. Numerointi tapahtuu useimmiten luonnollisilla luvuilla . Katso yleisempiä tapauksia kohdasta Muunnelmat ja yleistykset .

Tässä artikkelissa sekvenssin oletetaan olevan ääretön; äärellisen sekvenssin tapaukset määritellään erikseen.

Esimerkkejä

Esimerkkejä numeerisista sarjoista:

Esimerkki äärellisestä sarjasta olisi talojen sarja kadulla.
Yhdessä muuttujassa olevaa polynomia voidaan pitää sen kertoimien äärellisenä sarjana tai äärettömänä oletuksena . ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n))$ $a_{i}=0$ $i>n$
Alkulukujono on yksi tunnetuimmista ei-triviaaleista äärettömistä lukujonoista .
Jokainen reaaliluku voidaan liittää omaan sarjaansa, jota kutsutaan jatkuvaksi murtoluvuksi - lisäksi rationaalisille luvuille se on aina äärellinen, algebrallisille irrationaalisille luvuille se on ääretön ( neliöllisille irrationaaleille se on jaksollinen ), ja transsendentaalisille luvuille se on ääretön ja ei jaksoittain, vaikka yksittäisiä numeroita voi esiintyä hänessä äärettömän monta kertaa. Esimerkiksi luvun jatkuva murto-osa on äärellinen ja yhtä suuri kuin , ja luvun jatkuva murto - osa on jo ääretön, ei jaksollinen ja näyttää tältä: . ${\frac {13}{9}}$ ${\näyttötyyli [1;2,4]}$ $\pi$ ${\näyttötyyli [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\pisteet ]}$
Geometriassa usein tarkastellaan säännöllisten monikulmioiden sarjaa, jonka muoto riippuu vain pisteiden lukumäärästä.
Sekvenssi voi koostua jopa joukoista - voit esimerkiksi muodostaa sekvenssin, jossa -: s paikka sisältää kaikkien astepolynomien joukon kokonaislukukertoimilla yhdessä muuttujassa. $n$ $n$

Numerosarja

Tiukka määritelmä

Olkoon jokin joukko mielivaltaisia elementtejä. $X$

Mitä tahansa luonnollisten lukujen joukon kuvaamista tiettyyn joukkoon kutsutaan sekvenssiksi [1] (joukon alkioista ). $f\colon {\mathbb {N}}\to X$ $\mathbb {N}$ $X$ $X$

Merkintä

Lomakkeen sekvenssit

x_{1},x_{2},x_{3},\dots

On tapana kirjoittaa tiiviisti sulkuilla:

(x_{n})

tai .

(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}

Kihara housunkannattimet käytetään joskus:

\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }

Loppujaksot voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

(x_{n})_{{n=1}}^{N}

Sarja voidaan kirjoittaa myös muodossa

{\näyttötyyli (f(n))}

jos funktio on määritelty aiemmin, tai sen merkintä voidaan korvata itse funktiolla. Esimerkiksi , sekvenssi voidaan kirjoittaa muodossa . $f$ ${\displaystyle f(n)=n^{3))$ $(n^{3})$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Luonnollisen luvun kuvaa , eli alkiota , kutsutaan jonon -: nneksi jäseneksi ja jonon jäsenen järjestyslukua sen indeksiksi . $n$ $x_{n}=f(n)$ $n$ $n$ $x_{n}$
Joukon osajoukkoa , jonka muodostavat sekvenssin elementit, kutsutaan sekvenssin kantajaksi : kun indeksi kulkee luonnollisten lukujen joukon läpi, piste, joka "kuvaa" jonon jäseniä "liikkuu" pitkin harjoittaja. $f\left[{\mathbb {N}}\oikea]$ $X$
Jakson osasekvenssi on sekvenssi , joka riippuu , jossa on kasvava luonnollisten lukujen sarja. Alkuperäisestä sekvenssistä saa osasekvenssin poistamalla siitä joitain jäseniä. $(x_{n})$ $k$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Muistiinpanot

Mikä tahansa kartoitus joukosta itseensä on myös sekvenssi. $\mathbb {N}$
Joukon alkioiden sarjaa voidaan pitää järjestettynä osajoukona , joka on isomorfinen luonnollisten lukujen joukon kanssa . $X$ $X$

Numeeristen sekvenssien määrittelytavat

Analyyttinen , jossa kaava määrittelee n:nnen termin sekvenssin, esimerkiksi: $a_{n}={\frac {n}{n+1))$
Toistuvat , Esimerkiksi Fibonacci-luvut , joissa mikä tahansa sekvenssin jäsen ilmaistaan edeltävinä: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1))$
sanallinen ; Esimerkiksi mille tahansa äärettömälle desimaalimurtoluvulle voit muodostaa sekvenssin sen desimaaliarvioista puutteen tai ylimäärän suhteen pyöristämällä murto-osaa ylös- tai alaspäin jokaisessa iteraatiossa.

Toimintojen järjestys

"Algoritmi on tiukka ja looginen toimintosarja ongelman ratkaisemiseksi (matemaattinen, informaatio jne.)." [3] [4]

Sekvenssejä matematiikassa

Matematiikassa tarkastellaan erityyppisiä sekvenssejä:

numeeriset sekvenssit ;
metrisen avaruuden elementtisekvenssit ;
sekä numeeriset että ei-numeeriset aikasarjat ;
toiminnallisen tilan elementtien sekvenssit ;
ohjausjärjestelmien ja automaattien tilasarjat .

Käytännössä tärkeitä tehtäviä sekvenssien tutkimuksessa:

Selvittää, onko annettu sekvenssi äärellinen vai ääretön. Esimerkiksi vuodelle 2020 tiedetään 51 Mersennen alkulukua , mutta ei ole todistettu, etteikö tällaisia lukuja olisi enää olemassa.
Etsi kuvioita sekvenssin jäsenten joukosta.
Etsi analyyttinen kaava, joka voi toimia hyvänä likiarvona sekvenssin -:nnelle jäsenelle. Esimerkiksi : nnelle alkuluvulle saadaan hyvä approksimaatio kaavalla: (tarkempiakin on). $n$ $n$ $n\ln(n)$
Tulevien tilojen ennustaminen, ensisijaisesti kysymällä, konvergoiko tietty sekvenssi äärelliseen vai äärettömään rajaan , numeeriseen vai ei-numeeriseen joukon tyypistä riippuen $($ $X).$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jakson jäseniä ei tarvitse numeroida luonnollisilla luvuilla - esimerkiksi Fibonacci-sekvenssi voidaan laajentaa negatiivisiksi kokonaisluvuiksi .
On myös niin sanottuja moniulotteisia sekvenssejä , jotka on numeroitu karteesisen tuotteen elementeillä . Näitä ovat esimerkiksi Thue-Morse-sekvenssin moniulotteinen laajennus . Myös usean muuttujan polynomia voidaan pitää äärellisulotteisena sekvenssinä, jossa asema on tulon kerroin . $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n))$ $n$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\pisteet x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{ n}}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Jakso // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 506-507.
↑ Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka: Viitemateriaalit . - Moskova: Koulutus, 1988. - 416 s. (Venäjän kieli)
↑ Selittävä sanakirja / toim. D. V. Dmitrieva. - AST, Lingua, Astrel, 2003. - 1584 s. - ISBN 5-17-016483-1 , 5-271-05995-2.
↑ I. G. Semakin, A. P. Shestakov. algoritmisoinnin ja ohjelmoinnin perusteet . - Moskova: Publishing Center "Academy", 2016. - S. 10. - 303 s. — ISBN 978-5-4468-3155-5 . Arkistoitu 21. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Jakso // Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogiikka , 1985. - S. 242 -245. — 352 s.

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi