Lorentzin muunnosten johtaminen

Lorentz-muunnosten johtaminen voidaan tehdä monella tapaa eri lähtökohdista alkaen.

Lorentz-muunnokset voidaan saada abstraktisti, ryhmänäkökohdista (tässä tapauksessa ne saadaan määrittelemättömällä parametrilla ) Galilean muunnosten yleistyksenä (jonka teki Poincaré - katso alla ). Ne saatiin kuitenkin ensin muunnoksina, joiden suhteen Maxwellin yhtälöt $c$ kovariantti (jotka eivät muuta sähködynamiikan ja optiikan lakien muotoa siirryttäessä toiseen vertailukehykseen). Muunnoksia voidaan saada olettamalla niiden lineaarisuus ja olettamalla sama valonnopeus kaikissa vertailukehyksissä (joka on yksinkertaistettu muotoilu sähködynamiikan kovarianssivaatimuksesta suhteessa haluttuihin muunnoksiin ja periaatteen laajennus inertiaalisten viitekehysten (ISR) yhtäläisyys - suhteellisuusperiaate - sähködynamiikkaan), kuten tehdään erityisessä suhteellisuusteoriassa (SRT) (tässä tapauksessa Lorentzin muunnoksissa oleva parametri osoittautuu selväksi ja osuu yhteen valon nopeudella). $c$

On huomattava, että jos koordinaattimuunnosten luokka ei rajoitu lineaarisiin, niin Newtonin ensimmäinen laki ei päde vain Lorentzin muunnoksille, vaan laajemmalle murto-lineaaristen muunnosten luokalle (tämä laajempi muunnosluokka - paitsi, Tietenkin Lorentzin muunnosten erikoistapauksessa - ei pidä metristä vakiota).

Algebrallinen johtaminen

Useiden luonnollisten oletusten perusteella (joista pääasiallinen on oletus vuorovaikutusten suurimman etenemisnopeuden olemassaolosta ) voidaan osoittaa , että IFR:ää muutettaessa arvo

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

kutsutaan intervalliksi . Tämä lause viittaa suoraan Lorentzin muunnosten yleiseen muotoon ( katso alla ). Tässä tarkastelemme vain erityistapausta. Selvyyden vuoksi, siirryttäessä nopeudella liikkuvaan IFR:ään , valitsemme alkujärjestelmässä akselin , joka on suunnattu yhdessä :n kanssa , ja akselit ja sijoitetaan kohtisuoraan akseliin nähden . ISO:n tila-akselit ajanhetkellä valitaan ISO:n akselien kanssa samansuuntaisiksi . Tällaisella muutoksella $K'$ $v$ $K$ $X$ $v$ $Y$ $Z$ $X$ $K'$ $t = 0$ $K$

y'=y,~~z'=z,~~c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{ 2}.

Etsimme lineaarisia Lorentz-muunnoksia, koska äärettömän pienillä koordinaattimuunnoksilla uusien koordinaattien differentiaalit riippuvat lineaarisesti vanhojen koordinaattien differentiaaleista, ja tilan ja ajan homogeenisuuden vuoksi kertoimet eivät voi riippua koordinaateista, vain IFR:n suhteellinen suunta ja nopeus.

Se, että poikittaiskoordinaatit eivät voi muuttua, on selvää avaruuden isotropiaa koskevista näkökohdista. Arvo ei todellakaan voi muuttua eikä samalla riippua (paitsi kierroksen aikana , jonka jätämme huomiotta), mikä on helppo varmistaa korvaamalla tällaiset lineaariset muunnokset välin lausekkeella. Mutta jos se riippuu , niin pisteellä, jolla on koordinaatti , on nollasta poikkeava koordinaatti , mikä on ristiriidassa järjestelmän pyörimisen symmetrian kanssa avaruuden isotropian suhteen. Samoin . $y'$ $x$ $v$ $x$ $(0,x,0,0)$ $y'$ $v$ $z'$

Tällaisten muunnosten yleisin muoto:

y'=y,~~z'=z,~~ct'=ct\,\operaattorin nimi {ch} \,\alpha -x\,\operaattorin nimi {sh} \,\alpha ,~~x' =x\,\operaattorinnimi {ch} \,\alpha -ct\,\operaattorinnimi {sh} \,\alpha ,

missä on jokin parametri nimeltä nopeus . Käänteismuunnoksilla on muoto $\alpha$

y=y',~~z=z',~~ct=ct'\,\operaattorinnimi {ch} \,\alpha +x'\,\operaattorin nimi {sh} \,\alpha ,~~x =x'\,\operaattorinnimi {ch} \,\alpha +ct'\,\operaattorinnimi {sh} \,\alpha .

On selvää, että levossa olevan IFR:n pisteen tulee liikkua IFR :ssä vauhdilla . Toisaalta, jos piste on levossa, niin $K$ $K'$ $-v$

dx=dx'\,\operaattorin nimi {ch} \,\alpha +c\,dt'\,\operaattorin nimi {sh} \,\alpha =0,

{\frac {dx'}{c\,dt'}}=-{\frac {v}{c}}=-\operaattorinimi {th} \,\alpha ~\Rightarrow ~\operaattorinimi {th} \,\alpha ={\frac {v}{c}}.

Ottaen huomioon, että tilan suunta ei saisi muuttua ISO:ta vaihdettaessa, saamme sen

\operaattorinimi {ch} \,\alpha \geqslant 0.

Siksi nopeuden yhtälö on yksiselitteisesti ratkaistavissa:

\operaattorinnimi {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},~~\ operaattorin nimi {sh} \,\alpha ={\frac {v}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},

ja Lorentzin muunnoksilla on muoto

\ x'=\gamma (x-vt),

\ t'=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2))}x),

\gamma =\operaattorinimi {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.

Parametria kutsutaan Lorentz-tekijäksi [1] . $\gamma$

Maxwellin yhtälöiden symmetriaryhmä

Lorentzin muunnosten visuaalinen johtaminen

Hyväksymme SRT :n postulaatit , jotka tiivistyvät laajennettuun suhteellisuusperiaatteeseen, jonka mukaan kaikki fysikaaliset prosessit etenevät täsmälleen samalla tavalla kaikissa inertiavertailukehyksissä (valon nopeuden vakion periaate SRT:ssä, mikä jalostaa sitä , tarkoittaa suhteellisuusperiaatteen laajentamista sähködynamiikkaan sekä selventävää lausuntoa, että ei ole olemassa perustavaa laatua olevaa fyysistä väliainetta (eetteriä), joka erottaisi yhden kokeen vertailujärjestelmistä - eli vaikka eetteri olisi olemassa, silloin sen läsnäolo ei saa loukata suhteellisuusperiaatetta käytännössä). Lisäksi on hyödyllistä korostaa nimenomaisesti, että valonnopeuden vakion periaate tarkoittaa täsmälleen lopullisen nopeuden olemassaoloa (kokeesta, joka on yhtä suuri kuin valon nopeus tyhjiössä), joka on sisällytetty peruslakeihin (yhtälöihin), sama kaikille inertiaalisille vertailukehyksille, ja jokaisessa vertailukehyksessä valon nopeus on sama mihin tahansa sen etenemissuuntaan eikä se riipu lähteen nopeudesta. Valonnopeuden pysyvyyden periaate muodostaa SRT:n toisen postulaatin, jota käytetään alla.

Poikittaisakseleiden muunnos (kohta 1)

Olkoon kaksi ääretöntä tasoa kohtisuorassa y -akseliin nähden . Näiden tasojen välinen etäisyys ei tietenkään saisi riippua tasojen nopeudesta itseään pitkin, mikä tarkoittaa, että se ei riipu vertailukehyksestä, joka liikkuu suhteessa toiseen akselia pitkin . (Itse asiassa kussakin tällaisessa järjestelmässä akselia pitkin tasosta toiseen liikkuvan valonsäteen kulkuaika on sama SRT:n postulaattien mukaan.) $x$ $y$

Voit myös kuvitella kuinka akselia pitkin liikkuva kappale lentää samankokoiseen kiinteään reikään. Jos tasa-arvoa ei ole , runko voi olla suurempi tai pienempi kuin reikä vertailujärjestelmästä riippuen, jossa mittaus suoritetaan. Todellisuudessa ruumis kulkee tai ei kulje reiän läpi, riippumatta vertailukehyksen valinnasta. $x$ $y=y',$

Sama pätee tietysti akseliin . Siksi, kun jätetään pois yksinkertaisuuden vuoksi fyysisesti epämiellyttävä tapaus, jossa kierto tapahtuu toisen koordinaattijärjestelmän vakiokulmalla ensimmäiseen nähden, saadaan: $z$

y=y',z=z'.

Aikalaajennus (kohde 2)

Osoitetaan, että mikä tahansa prosessi (esim. kellon kulku) siihen nähden liikkuvassa vertailukehyksessä etenee hitaammin kuin omassa viitekehyksessään (johon nähden se ei liiku).

Tarkastellaan "valokelloa", joka koostuu pistelähteestä ja valonvastaanottimesta akselilla , jotka ovat etäisyyden päässä toisistaan ja joka mittaa aikaväliä valopulssin (salaman) kulkemiseen lähteestä vastaanottimeen, joka on yhtä suuri . _ $y$ $L$ $L/c$

Jos vertailukehykset liikkuvat suhteessa toisiinsa akselia pitkin , kahden akselin pisteen välinen etäisyys mitattuna kehyksessä, joka on paikallaan näihin pisteisiin nähden, on sama kuin mitattuna liikkuvassa vertailukehyksessä, koska ei järjestelmien suhteellista liikettä akselilla. Tämä varmistaa, että pituusyksiköt ovat yhdenmukaisia kaikissa järjestelmissä. Myös aikayksiköt ovat yhdenmukaisia, koska pituusyksiköt ovat yhdenmukaisia, eikä valon nopeus riipu koordinaattijärjestelmästä. $x$ $L$ $y$ $y$

Siten jokaiseen vertailukehykseen voidaan asettaa sama valokello.

Verrataan pulssin kulun aikaväliä vertailukehyksessä, jossa valokello on levossa, ja saman kellon aikaväliä, joka on mitattu identtisillä kelloilla liikkuvassa vertailukehyksessä.

Olkoon valokellon levossa vertailukehyksessä (kuvassa vasen diagrammi) ja vertailukehys liikkuu oikealle akselia pitkin nopeudella . Lähde pulssin lähetyshetkellä on vertailujärjestelmän origossa A ( punainen piste kuvassa) ja vastaanotin on pisteessä B (sininen) akselilla . Vertailukehyksessä säteilevä valopulssi saavuttaa ajoissa akselilla olevan vastaanottimen B. $K$ $K'$ $x$ $V$ $K$ $y$ $K$ $y$ $\Delta t=L/c$

Vertailukehyksessä valopulssi lähtee origosta sillä hetkellä, kun se osuu yhteen järjestelmän origon kanssa (piste A ), ja saapuu vastaanottimeen B ajan kuluttua , joka mitataan järjestelmän mukana liikkuvilla kelloilla . Pisteen B koordinaatti on kuvan oikeanpuoleisessa kaaviossa katkoviivalla merkitty siirtymä, joka on yhtä suuri kuin , piste A osoittaa paikan, josta pulssi on lähetetty, pulssin liikerata näkyy vihreällä viivalla. $K'$ $K$ $\Delta t'=L'/c$ $K'$ $x'$ $-V\Delta t'$ $K'$

Koska valon nopeus missä tahansa inertiaalisessa vertailukehyksessä on sama (ei riipu lähteen nopeudesta ja säteilyn suunnasta), lähdettä A impulssin hetkellä voidaan pitää paikallaan vertailukehyksessä . $K'$

Reitti , jonka valopulssi kulkee pisteestä A paikkaan B vertailukehyksessä, on yhtä suuri kuin suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Pythagoraan lauseen mukaan $L'$ $K'$

{\displaystyle L'^{2}}=L^{2}+(V\Delta t')^{2},

ottaen huomioon, että ja , löydämme ilmaisun ${\displaystyle L'}=c\Delta t'$ $L=c\Delta t$ $\Delta t'$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2)))))).

Tästä seuraa, että milloin $\Delta t'>\Delta t$ $V\neq 0.$

Siten minkä tahansa viitekehyksessä tapahtuvan prosessin aikaväli , mitattuna kellolla liikkuvassa vertailukehyksessä , on suurempi kuin aikaväli , joka mitataan samalla kellolla omassa vertailukehyksessään . Alueen lisäyskerroin on vakio vakionopeudella. $\Delta t'$ $K$ $K'$ $\Delta t$ $K$

Koska vertailukehys liikkuu suhteessa kehykseen nopeudella , niin sanotaan, että aika liikkuvassa viitekehyksessä järjestelmän kannalta virtaa hitaasti. Esimerkiksi suurilla nopeuksilla tuotettujen lyhytikäisten hiukkasten laboratorio-ikä on pidempi kuin niiden omassa vertailukehyksessä. $K$ $K'$ ${\näyttötyyli -V}$ $K$ $K'$ $\Delta t'$ $\Delta t$

Selvemmin ajan hidastuminen ilmenee viitekehyksen mukana liikkuvien kellojen hidastumisena (tempona) . Jos lähde ja vastaanotin on varustettu peileillä, jotka heijastavat valopulssia, minkä tahansa pituinen aikaväli voidaan mitata heijastusten välisten jaksojen lukumäärällä. Tällaisen valoheilurin värähtelytaajuus luonnehtii ajan kulumisen nopeutta. Toistuvan prosessin jakso on verrannollinen sen tiheyteen tasa-arvoisesti . Suurempi jakso vastaa pienempää taajuutta ja epäyhtälö muuttuu taajuuden epäyhtälöksi , missä on järjestelmän kanssa liikkuvan kellon valoheilurin taajuus järjestelmän kellolla mitattuna on järjestelmän kellon taajuus . valoheiluri omassa vertailukehyksessään (suhteessa siihen, mihin kello on levossa). Liikkuva kello tikittää harvemmin kuin paikallaan oleva. $K$ $T$ $\nu ={\frac {1}{T))$ $\Delta t'>\Delta t$ $\nu '<\nu$ $\nu'$ $K$ $K'$ $\nu$ $K$

Koska kaikki inertiaaliset viitekehykset ovat yhtä suuret, niin mittaamalla impulssin kulun kesto tunteina, jotka liikkuvat yhdessä vertailukehyksen , vertailukehyksen kellon kanssa , saadaan käänteinen epäyhtälö :lle , koska tässä tapauksessa on oikea aika. Referenssijärjestelmän näkökulmasta järjestelmän liikkuva kello kulkee hitaammin kuin järjestelmän oma kello . $K'$ $K$ $\Delta t'<\Delta t$ $V\neq 0$ $\Delta t'$ $K$ $K'$ $K$

Samanaikaisuuden suhteellisuus (kohta 3)

Sen lisäksi, että se hidastaa aikaa liikkuvassa vertailukehyksessä (kaikkien kellojen hidastuminen liikkuvassa laboratoriossa verrattuna kiinteän laboratorion kelloihin), käy ilmi, että myös ajan alkuperä liikkuvassa vertailukehyksessä ei ole sama kuin kiinteässä, ja tämän origon siirtymä on erilainen eri pisteissä - riippuu x :stä . Omassa viitekehyksessään olevat kellot, jotka pitävät saman ajan, näyttävät eri viive-/viiveaikoja sijainnistaan riippuen, kun niitä tarkastellaan viitekehyksestä, jossa niiden oma viitekehys liikkuu.

Ymmärtääkseen ongelman ydintä on pohdittava kysymystä tavalla tai toisella ja mitä tarkoittaa, että kellot avaruuden eri pisteissä, jotka sijaitsevat kaukana toisistaan (esimerkiksi eri kaupungeissa) pyörivät samalla tavalla (synkronisesti), kuten tästä voidaan nähdä, tai kuinka (millä menettelyllä) voit synkronoida kellot eri paikoissa, jos ne eivät olleet synkronisia alun perin.

Jo yksinkertaisin synkronointimenetelmä, joka koostuu siitä, että kaikki kellot synkronoidaan yhteen paikkaan ja sitten ne siirretään eri pisteisiin, mahdollistaa sen, että yhteen viitekehykseen synkronoidut kellot näyttävät eri aikoja. toisesta viitekehyksestä. Tosiasia on, että kellojen, jotka siirrämme eri pisteisiin x -akselilla , niiden nopeus suhteessa toiseen vertailukehykseen on välttämättä erilainen, joten aika x -akselin eri kohdissa siirtyy eri tavalla.

Tämä voidaan arvioida huolellisesti määrällisesti, jolloin saavutettaisiin haluttu tulos. Mutta tämä voidaan saavuttaa yksinkertaisemmin harkitsemalla synkronointia valosignaalien avulla (ja suhteellisuusperiaate sanoo, että minkä tahansa oikean synkronointitavan pitäisi antaa sama tulos, joka voidaan kuitenkin haluttaessa varmentaa selvästi).

Harkitse siis synkronointia valosignaalien avulla. Tämä prosessi voi koostua esimerkiksi valosignaalien vaihdosta kahden etäkronometrin välillä: jos signaalit lähetetään samaan aikaan, kuluu sama aika ennen kuin signaali vastaanotetaan jokaiselle kellolle. Mutta vielä yksinkertaisempi on hieman erilainen (tätä vastaava) menetelmä: voit tehdä valon välähdyksen tarkalleen kronometrejä yhdistävän segmentin keskelle ja vakuuttaa, että valo tulee molempiin kronometreihin samanaikaisesti.

Omassa vertailukehyksessään (jossa kronometrit ovat paikallaan) kuva on symmetrinen. Kuitenkin missä tahansa muussa viitekehyksessä molemmat kronometrit liikkuvat (varmuuden vuoksi oletetaan, että oikealle), ja silloin niitä yhdistävän segmentin keskeltä tuleva valo alkuhetkellä kestää vähemmän aikaa päästäkseen vasemmalle. kronometri (liikkuvat valoa kohti) kuin oikealle (johon valopulssin on saatava kiinni).

Siten kronometrit, jotka toimivat synkronisesti omassa vertailukehyksessään, toisen vertailukehyksen kellojen mukaan, näyttävät asynkronisilta. Tapahtumien samanaikaisuus on suhteellista: tapahtumat, jotka ovat samanaikaisia yhdessä viitekehyksessä, eivät ole samanaikaisia toisessa.

Yksinkertaiset geometriset laskelmat mahdollistavat (kuvattuaan valopulssien ja kronometrien liikkeen xt -tasolla ) saada lausekkeen ajan alkukohdan siirtymälle:

-Vx/c^{2}

(Yksinkertaisuuden vuoksi olemme tarkastelleet tässä vain x - akselin välissä olevia kelloja , mutta tietysti kaikki voidaan laskea yleisessä tapauksessa).

Näin ollen yhdistämällä kohtien 2 ja 3 tulokset saadaan aikamuunnokselle

t'={\frac {t-Vx/c^{2}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}

Tämä vaikutus voidaan todistaa myös ristiriitaisesti: jos sitä ei olisi olemassa tai jos aikaviitteen alkuperän muutos ei olisi , niin ns. kaksoisparadoksi olisi olemassa . $-Vx/c^{2}$

Lorentzin pituussupistus (kohta 4)

Ottaen huomioon valopulssin liikkeen x - akselia pitkin (eikä pitkin y :tä, kuten oli kappaleessa 1) ja vaatien (perustuen oletukseen, että valonnopeus on sama kaikissa inertiavertailukehyksissä), että etäisyys kahden pisteen välillä tulee aina olla yhtä suuri kuin aika, jonka valo siirtyy pisteestä toiseen, kerrottuna (vakio) valonnopeudella, saat etäisyyden vähennyskertoimen x ja ottaen huomioon, että valon siirtymä origo on yhtä suuri kuin , saat muunnoksen x -koordinaatille : $-Vt$

x'={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2)))).

Nyt on vielä helpompi ymmärtää, mitä tällä tavalla ilmaistaan, kun otetaan huomioon, että tasossa valopulssin liikekaavion [2] tulee olla suora, kalteva 45 ° (johtuen siitä, että valon nopeus on aina c ), ja siten mittakaavan akseleita pitkin ja tulee olla sama, ja yksikköjärjestelmän lausekkeiden tulee olla symmetrisiä. $x'$ $x-ct$ $x$ $ct$ $c = 1$

Siten Lorentzin muunnokset saadaan melko selvästi kollineaarisilla spatiaalisilla akseleilla. Tietysti myös käänteinen päättelyjärjestys on mahdollinen: ensin voidaan saada Lorentzin muunnokset jollain abstraktimalla tavalla, esimerkiksi jollain edellä mainituista, ja sitten saada kaikki tämän visuaalisen todistuksen vaiheissa analysoidut efektit yksinkertainen muodollinen seuraus Lorentzin muunnoksista.

Muistiinpanot

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. — Painos 6, korjattu ja täydennetty. - M . : Nauka , 1973. - S. 11-28. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). Arkistoitu 26. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Minkowski kutsui tällaista liikeaikataulua maailmanlinjaksi; Tässä osiossa emme kuitenkaan syvenny Lorentz-muunnosten yhteyteen Minkowski-avaruuden käsitteeseen kokonaisuudessaan, ensisijaisesti siksi, ettei se monimutkaista ja keskeyttää alkeisjohtamista, jota on helpompi pitää muista erikoiskäsitteistä riippumattomana. rajoittuen vain alkeellisiin geometrisiin ja algebrallisiin käsitteisiin vain siinä määrin kuin ne ovat välttämättömiä. Itse asiassa puhumme koordinaattien muuntamisesta Minkowski-avaruudessa, ja tässä kappaleessa valonnopeuden vakion postulaatin perusteella tämän avaruuden tietyt ominaisuudet, samoin kuin Lorentzin muunnokset, selvennetään sopivina muunnoksina. siinä olevista koordinaateista. Mutta vielä kerran selvyyden vuoksi korostamme, että itse johtopäätöstä varten sinun ei tarvitse tietää mitään muuta kuin mitä kappaleen päätekstissä nimenomaisesti sanotaan.

Linkit

Kirja Relativistinen maailma