Herzog-Schoenheimin hypoteesi

Herzog-Schönheim-oletus on Marcel Herzogin ja Johanan Schoenheimin vuonna 1974 esittämä kombinatorinen ongelma ryhmäteoriassa [1] .

Olkoon ryhmä ja anna $G$

{\displaystyle A=\{a_{1}G_{1},\ \ldots ,\ a_{k}G_{k}\))

on äärellinen järjestelmä ryhmän alaryhmien vasemmista koseteista . ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$

Herzog ja Schönheim olettivat, että jos muodostaa joukon osion kanssa , niin (äärelliset) indeksit eivät voi kaikki olla erilaisia. Jos indeksien toistaminen on sallittua, ryhmä on helppo jakaa vasemmille koseteille - jos on jokin ryhmän alaryhmä, jossa on indeksi , niin se jaetaan alaryhmän vasemmille koseteille . $A$ $G$ $k>1$ $[G:G_{1}],\ldots ,[G:G_{k}]$ $H$ $G$ $k=[G:H]<\infty$ $G$ $k$ $H$

Subnormaalit alaryhmät

Vuonna 2004 Chiwei Sun osoitti laajennetun version Herzog-Schönheim-oletuksesta tapaukseen, jossa [ ovat epänormaalia [2] . Sunin todistuksen päälemma sanoo, että jos ovat epänormaalia ja niillä on äärellinen indeksi , niin ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$ ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{k))$ $G$

{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k} [G:G_{i}]

ja näin ollen,

P{\bigg (}{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i= 1}^{k}P([G:G_{i}]),

missä on joukko prime jakajia . $P(n)$ $n$

Mirsky–Newman-lause

If on kokonaislukujen additiivinen ryhmä , ryhmän yhteisluokat ovat aritmeettisia progressioita . Tässä tapauksessa Herzog-Schönheim-oletus väittää, että minkä tahansa peittojärjestelmän , aritmeettisten progressioiden perheen, jotka yhdessä kattavat kaikki kokonaisluvut, täytyy kattaa jotkin luvut useammin kuin kerran tai sisältää vähintään pari progressioita, joilla on sama ero. Pal Erdős esitti tämän tuloksen olettamuksina vuonna 1950, ja pian sen jälkeen Leon Mirsky yhdessä Donald J. Newmanin kanssa todisti sen . Mirsky ja Newman eivät kuitenkaan koskaan julkaisseet todisteita. Saman todisteen löysivät itsenäisesti Harold Davenport ja Richard Rado . $G$ $\mathbb {Z}$ $G$ [3].

Vuonna 1970 Neuvostoliiton matemaattisissa olympialaisissa ehdotettiin Mirsky-Newmanin lausetta vastaava geometrinen värjäysongelma:

Oletetaan, että säännöllisen monikulmion kärjet on väritetty siten, että minkä tahansa värin kärjet muodostavat säännöllisen monikulmion. Sitten on kaksi väriä, jotka muodostavat yhtä suuret polygonit [3] .

Muistiinpanot

↑ Herzog, Schönheim, 1974 , s. 150.
↑ Sun, 2004 , s. 153-175.
↑ 12 Soifer , 2008 , s. 1–9.

Kirjallisuus

M. Herzog, J. Schönheim. Tutkimusongelma nro. 9 // Kanadan matemaattinen tiedote. - 1974. - T. 17 . - S. 150 . . Kuten siteerattiin ( su 2004 )
Zhi Wei Sun. Herzog-Schönheim-oletuksesta ryhmien yhtenäisille kansille // Journal of Algebra. - 2004. - T. 273 , numero. 1 . - S. 153-175 . - doi : 10.1016/S0021-8693(03)00526-X . - arXiv : math/0306099 .
Aleksanteri Soifer. Matemaattinen värityskirja: Värityksen matematiikka ja sen tekijöiden värikäs elämä . - New York: Springer, 2008. - S. 1-9 . — ISBN 978-0-387-74640-1 .