Toeplitzin hypoteesi

Toeplitzin arvelu , joka tunnetaan myös nimellä sisäänkirjoitettu neliöarku, on ratkaisematon geometrian ongelma . Hypoteesin muotoilu:

Mistä tahansa suljetusta tasosta Jordanin käyrästä löytyy neljä neliön kärjessä olevaa pistettä .

Toeplitzin arvelu on totta kuperille käyrille , paloittain sileille käyrälle ja muissa erikoistapauksissa. Ongelman muotoili Otto Toeplitz vuonna 1911 [1] . Varhaiset positiiviset tulokset saavuttivat Arnold Emch [2] ja Lev Shnirelman [3] . Tasaisten käyrien kohdalla ongelma on ratkaistu. [neljä]

Kuvaus

Olkoon C Jordanin käyrä . Monikulmio P on merkitty C :hen, jos kaikki P :n kärjet kuuluvat C :hen. Kirjattu neliötehtävä on:

Onko mahdollista löytää kaiverrettu neliö jokaisesta Jordanin käyrästä?

Se ei edellytä, että neliön kärjet ovat missään tietyssä järjestyksessä.

Joillekin käyrille, kuten ympyrä ja neliö , voit määrittää äärettömän määrän sisäänkirjoitettuja neliöitä. Tylppään kolmioon voidaan kirjoittaa täsmälleen yksi neliö .

Walter Stromquist osoitti, että jokaiseen paikallisesti monotoniseen yksinkertaiseen tasokäyrään voidaan kirjoittaa neliö [5] . Todistus pätee käyriin C , joilla on paikallinen monotonisuusominaisuus: jokaiselle pisteelle p , joka sijaitsee C :ssä , on olemassa naapuri U ( p ) siten, että mikään C :n jänne kyseisessä ympäristössä ei ole yhdensuuntainen tietyn suunnan n ( p ) kanssa ( y-akselin suunta). Paikallisesti monotoniset käyrät sisältävät kaikki kuperat käyrät ja kaikki palakohtaisesti annetut jatkuvasti differentioituvat käyrät ilman kuppeja .

Myöntävä vastaus tunnetaan myös keskussymmetrisistä käyristä [6] .

Vaihtoehdot ja yleistykset

Tiedetään, että mille tahansa kolmiolle T ja Jordanin käyrälle C on olemassa T : n kaltainen kolmio, joka on merkitty C :hen [7] [8] . Lisäksi tällaisten kolmioiden kärkijoukko on tiheä C : ssä [9] . Erityisesti on aina olemassa kirjattu tasasivuinen kolmio . Myös suorakulmio voidaan kirjoittaa mihin tahansa Jordan-käyrään .

Jotkut sisäänkirjoitetun neliön ongelman yleistykset käsittelevät käyriin merkittyjä polygoneja. On olemassa myös yleistyksiä korkeamman ulottuvuuden euklidisille avaruuksille . Joten Stromquist osoitti, että mihin tahansa jatkuvaan suljettuun käyrään , joka täyttää "ehdon A", voidaan piirtää nelikulmio, jolla on yhtäläiset sivut ja yhtäläiset lävistäjät; "ehto A" on, että kaksi jännettä C minkään pisteen vastaavassa ympäristössä ei saa olla kohtisuorassa [5] . Tämä käyräluokka sisältää kaikki C 2 - käyrät . Nielsen ja Wright osoittivat, että mikä tahansa symmetrinen jatkumo sisältää piirrettyjä suorakulmioita [6] . Heinrich Guggenheimer osoitti, että mikä tahansa hyperpinta , joka on C 3 -diffeomorfinen palloon S n −1 nähden , sisältää 2 n säännöllisen euklidisen hyperkuution kärkeä [ 10] .

Muistiinpanot

  1. ↑ Toeplitz, O.: Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), s. 197.
  2. ↑ Emch, Arnold (1916), Analyyttisten kaarien muodostamien suljettujen jatkuvien käyrien mediaanien joistakin ominaisuuksista , American Journal of Mathematics, osa 38 (1): 6–18 , DOI 10.2307/2370541 
  3. ↑ Lev Shnirelman . Joistakin suljettujen käyrien geometrisistä ominaisuuksista  // Uspekhi Mat . - 1944. - T. 10 . - S. 34-44 .
  4. ↑ The Rectangular Peg Problem , 19. toukokuuta 2020 , < https://arxiv.org/abs/2005.09193 > Arkistoitu 27. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa 
  5. ↑ 1 2 Stromquist, Walter (1989), kirjoitetut neliöt ja neliömäiset nelikulmiot suljetuissa käyrissä , Mathematika T. 36 (2): 187–197 , DOI 10.1112/S0025579300013061 
  6. ↑ 1 2 Nielsen, Mark J. & Wright, SE (1995), Suorakulmiot, jotka on merkitty symmetriseen jatkumoon , Geometriae Dedicata T. 56 (3): 285–297 , DOI 10.1007/BF01263570 
  7. ↑ Meyerson, Mark D. (1980), Tasasivuiset kolmiot ja jatkuvat käyrät, Fundamenta Mathematicae T. 110 (1): 1–9  .
  8. ↑ Kronheimer, EH & Kronheimer, PB (1981), Tripos-ongelma , Journal of the London Mathematical Society , toinen sarja, osa 24 (1): 182–192 , DOI 10.1112/jlms/s2-24.1.182 
  9. ↑ Nielsen, Mark J. (1992), Yksinkertaisiin suljettuihin käyriin kirjoitetut kolmiot , Geometriae Dedicata osa 43 (3): 291–297 , DOI 10.1007/BF00151519 
  10. ↑ Guggenheimer, H. (1965), Äärilliset joukot käyrissä ja pinnoissa , Israel Journal of Mathematics, osa 3: 104–112 , DOI 10.1007/BF02760036 

Lue lisää

Ulkoiset linkit