Binäärilogaritmi

Binäärilogaritmi on 2 kantalogaritmi eli luvun binäärilogaritmi on yhtälön ratkaisu $b$ $2^{x}=b.$

Reaaliluvun binäärilogaritmi on olemassa, jos se on ISO 31-11 :n mukaan merkitty [1] tai . Esimerkkejä: $b$ $b>0.$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {lb} b,}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {lb} (b)}$ $\log _{2}b$

\operaattorinimi{lb} 1=0;\, \operaattorinimi{lb} 2=1;\, \operaattorinimi{lb} 16=4

\operaattorinimi{lb} 0{,}5=-1;\, \operaattorinimi{lb} \frac{1}{256}=-8

Historia

Historiallisesti binäärilogaritmit löysivät ensimmäisen käyttönsä musiikkiteoriassa, kun Leonhard Euler totesi, että kahden musiikin sävyn taajuuksien suhteen binäärilogaritmi on yhtä suuri kuin oktaavien lukumäärä, joka erottaa yhden sävelen toisesta. Euler julkaisi myös taulukon kokonaislukujen 1-8 binäärilogaritmeista seitsemän desimaalin tarkkuudella [2] [3] .

Tietojenkäsittelytieteen myötä kävi selväksi, että viestin koodaamiseen tarvittavien bittien lukumäärän määrittämiseen tarvitaan binäärilogaritmeja . Muita aloja, joilla binäärilogaritmia käytetään usein, ovat kombinatoriikka , bioinformatiikka , kryptografia , urheiluturnaukset ja valokuvaus . Monissa yleisissä ohjelmointijärjestelmissä on vakiotoiminto binäärilogaritmin laskemiseen.

Algebralliset ominaisuudet

Seuraavassa taulukossa oletetaan, että kaikki arvot ovat positiivisia [4] :

	Kaava	Esimerkki
Työ	$\operaattorinnimi {lb} (xy)=\operaattorin nimi {lb} (x)+\operaattorin nimi {lb} (y)$	$\operaattorinnimi {lb} (256)=\operaattorinimi {lb} (16\cdot 16)=\operaattorinimi {lb} (16)+\operaattorinimi {lb} (16)=4+4=8$
Jaon osamäärä	$\operaattorinnimi {lb} \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\operaattorinimi {lb} (x)-\operaattorinimi {lb} (y)$	$\operaattorinimi{lb} \left(\frac{1}{32}\right) = \operaattorinimi{lb} (1) - \operaattorinimi{lb} (32) = 0 - 5 = -5$
Tutkinto	$\operaattorinnimi {lb} (x^{p})=p\operaattorin nimi {lb} (x)$	$\operaattorinnimi {lb} (1024)=\operaattorinnimi {lb} (2^{10})=10\operaattorinnimi {lb} (2)=10$
Juuri	$\operaattorinnimi {lb} {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\operaattorinnimi {lb} (x)}{p}}$	$\operaattorinimi{lb} \sqrt{8} = \frac{1}{2}\operaattorinimi{lb} 8 = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Yllä olevista kaavoista on ilmeinen yleistys tapaukseen, jossa negatiiviset muuttujat ovat sallittuja, esimerkiksi:

\operaattorinimi{lb} |xy| = \operaattorinimi{lb} (|x|) + \operaattorinimi{lb} (|y|),

\operaattorinimi{lb} \!\left|\frac xy \right| = \operaattorinimi{lb} (|x|) - \operaattorinimi{lb} (|y|),

Tuloksen logaritmin kaava voidaan helposti yleistää mielivaltaiseen määrään tekijöitä:

\operaattorinnimi{lb}(x_1 x_2 \pisteet x_n) = \operaattorinnimi{lb} (x_1) + \operaattorinnimi{lb} (x_2) + \pisteet + \operaattorinnimi{lb} (x_n)

Binääri-, luonnon- ja desimaalilogaritmien välinen suhde :

\operaattorinimi{lb} x \noin 1{,}442695 \ln x

\operaattorinimi{lb} x \noin 3{,}321928 \lg x

Binäärilogaritmifunktio

Jos tarkastellaan logaritmista lukua muuttujana, saadaan binäärilogaritmifunktio: . Se määritetään kaikille arvoalueille: . Tämän funktion kuvaajaa kutsutaan usein logaritmiksi , se on funktion käänteisluku . Funktio on monotonisesti kasvava, jatkuva ja differentioituva missä tahansa se määritellään. Sen johdannainen saadaan kaavalla [5] : $y=\operaattorin nimi {lb} x$ $x>0,$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y=2^{x}$

\frac {d} {dx} \operaattorinnimi{lb} x = \frac {\operaattorinnimi{lb} e} {x}

Y- akseli on pystysuora asymptootti , koska: $(x=0)$

\lim_{x \to 0+0} \operaattorinimi{lb} x = - \infty

Sovellus

Informaatioteoria

Luonnollisen luvun binäärilogaritmin avulla voit määrittää numeroiden lukumäärän tämän luvun sisäisessä tietokoneen ( bitti ) esityksessä: $N$ $b(N)$

b(N) = \lfloor \operatorname{lb} N \rfloor + 1

(sulut tarkoittavat luvun kokonaislukuosaa )

Tiedon entropia on tiedon määrän mitta , joka perustuu myös binäärilogaritmiin

Rekursiivisten algoritmien monimutkaisuus

Rekursiivisten jakaa ja hallitse -algoritmien [6] , kuten pikalajittelu , nopea Fourier-muunnos , binäärihaku , asymptoottisen monimutkaisuuden arviointi .

Kombinatoriikka

Jos binääripuu sisältää solmuja, niin sen korkeus ei ole pienempi kuin (tasa-arvo saavutetaan, jos on potenssi 2) [7] . Näin ollen sivujokien sisältävän joen Strahler-Filosofov-luku ei ylitä [8] . $n$ $\log _{2}n$ $n$ $n$ $\log _{2}n+1$

Osakuution , jossa on kärkipisteitä, isometrinen ulottuvuus ei ole pienempi kuin kuution reunojen lukumäärä enintään yhtäläisyys pätee, kun osakuutio on hyperkuutiograafi [9] . $n$ $\log _{2}n.$ ${\frac {1}{2}}n\log _{2}n,$

Ramseyn lauseen mukaan suuntaamaton kärkigraafi sisältää joko klikkin tai itsenäisen joukon , jonka koko riippuu logaritmisesti . Tämän joukon tarkkaa kokoa ei tunneta, mutta tällä hetkellä parhaat estimaatit sisältävät binäärilogaritmeja. $n$ $n.$

Muut käyttötarkoitukset

Pelin kierrosten lukumäärä olympiajärjestelmän mukaan on yhtä suuri kuin kilpailun osallistujamäärän binäärilogaritmi [10] .

Musiikkiteoriassa , jotta voidaan ratkaista kysymys siitä, kuinka monella osalla oktaavi jaetaan , on löydettävä rationaalinen approksimaatio: Jos laajennamme tätä lukua jatkuvaksi murtoluvuksi , niin kolmas suppeneva murtoluku (7/12) mahdollistaa perustella oktaavin klassista jakamista 12 puolisäveleen [11] . $\log_2 \frac {3}{2} \noin 0{,}585.$

Muistiinpanot

↑ Joskus, varsinkin saksalaisissa painoksissa, binäärilogaritmi merkitään ( latinan sanasta logarithmus dyadis ), katso Bauer, Friedrich L. Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum (englanti) . - Springer Science & Business Media , 2009. - S. 54. - ISBN 978-3-642-02991-2 . ${\näyttötyyli \operaattorinimi {ld} b}$
↑ Euler, Leonhard (1739), luku VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus , Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae , Pietarin akatemia, s. 102-112 , < http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html > Arkistoitu 11. lokakuuta 2018 Wayback Machinessa .
↑ Tegg, Thomas (1829), Binäärilogaritmit , Lontoon tietosanakirja; tai Universaali tieteen, taiteen, kirjallisuuden ja käytännön mekaniikan sanakirja: sisältää yleisen näkemyksen tiedon nykytilasta, osa 4 , s. 142–143 , < https://books.google.com/books?id=E-ZTAAAAYAAJ&pg=PA142 > Arkistoitu 23. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa .
↑ Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 187..
↑ Logaritminen funktio. // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3.
↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algoritmi: tietotekniikan henki . - New York: Addison-Wesley, 2004. - S. 143 . - ISBN 978-0-321-11784-7 .
↑ Leiss, Ernst L. (2006), A Programmer's Companion to Algorithm Analysis , CRC Press, s. 28, ISBN 978-1-4200-1170-8 , < https://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28 > Arkistoitu 12. elokuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Devroye, L. & Kruszewski, P. (1996), Horton-Strahler-numerosta satunnaisille yrityksille , RAIRO Informatique Théorique et Applications, osa 30 (5): 443-456, doi : 10.1051/ita/ 199630050 , ://eudml.org/doc/92635 > Arkistoitu 7. lokakuuta 2015 Wayback Machinessa .
↑ Eppstein, David (2005), The lattice dimension of a graph , European Journal of Combinatorics, osa 26 (5): 585–592 , DOI 10.1016/j.ejc.2004.05.001
↑ Kharin A. A. Kilpailujen järjestäminen ja järjestäminen. Metodologinen opas . - Iževsk: UdGU, 2011. - S. 27.
↑ Shilov G. E. Yksinkertainen gamma. Musiikkivaakalaite. Arkistokopio päivätty 22. helmikuuta 2014 Wayback Machinessa M.: Fizmatgiz , 1963. 20 s. Sarja "Suosittuja matematiikan luentoja", numero 37.

Kirjallisuus

Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja . - toim. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tutkijoille ja insinööreille) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - toim. 6. - M .: Nauka, 1966. - 680 s.

Linkit

Taulukko kokonaislukujen binäärilogaritmeista 1 - 100. Arkistoitu 12. elokuuta 2019 Wayback Machinessa