Differentiaalinen inkluusio (matematiikka)

Differentiaalinen inkluusio on yleistys differentiaaliyhtälön käsitteestä :

{\frac {dx}{dt}}\in F(t,x),\qquad (*)

jossa oikea puoli (*) on moniarvoinen mappaus , joka liittää jokaisen muuttujaparin ei-tyhjään avaruudessa olevaan kompaktiin joukkoon . Differentiaalisen inkluusion (*) ratkaisua kutsutaan yleensä ehdottoman jatkuvaksi funktioksi , joka täyttää tietyn inkluusion Lähes kaikille arvoille.. Tällainen ratkaisun määritelmä liittyy ensisijaisesti differentiaalien inkluusioiden sovelluksiin ohjausteoriassa. $t\in \mathbb {R}$ $x \in \mathbb{R}^n$ $F(t,x)$ $\mathbb{R}^n.$ $x(t),$ $t.$

Differentiaalien sulkeumien teorian alkuperä yhdistetään yleensä ranskalaisen matemaatikon Marchaud'n ja puolalaisen matemaatikon Stanislaw Zaremban nimiin (1930-luvun puolivälin teoksia), mutta laaja kiinnostus niitä kohtaan heräsi vasta Pontryaginin maksimiperiaatteen löytämisen jälkeen. ja siihen liittyvän optimaalisen ohjauksen teorian intensiivinen kehittäminen. Differentiaalisulkeuksia käytetään myös työkaluna tutkittaessa differentiaaliyhtälöitä, joissa on epäjatkuva oikea puoli ( A.F. Filippov ) ja differentiaalipelien teoriassa ( N.N. Krasovskii ).

Differentiaalisulkujen kytkentä ohjattuihin järjestelmiin

Harkitse ohjattua järjestelmää

{\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\in U,\qquad (**)

jossa on pieni osajoukko. Järjestelmä (**) voidaan kirjoittaa differentiaalisisällykseksi (*) asettamalla . Melko yleisillä olettamuksilla hallittu järjestelmä (**) vastaa differentiaalista inkluusiota (*), ts. jokaiselle inkluusioratkaisulle (*) on sellainen sallittu ohjaus , että funktio on järjestelmän (**) liikerata tällä säätimellä. Tätä lausuntoa kutsutaan A.F:n lemmaks. Filippov. $U\subset \mathbb {R} ^{m}$ ${\displaystyle F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\ :\ \kaikki u\in U\))$ $x(t)$ $u(t)\in U,$ $x(t)$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Satunnaisuus ( kontingenttijohdannainen ) ja paratingenssi ovat yleistyksiä 1930-luvulla käyttöönotetusta derivaatan käsitteestä .

Vektorifunktion satunnaisuus pisteessä on sarjan kaikkien rajapisteiden joukko $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad i=1,2,\ldots

Vektorifunktion paratingenssi pisteessä on sarjan kaikkien rajapisteiden joukko $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Parat))\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad t_{j}\to t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots

Kontingenssi ja paratingenssi ovat esimerkkejä moniarvoisista kartoituksista . Esimerkiksi funktiolle pisteessä joukko koostuu kahdesta pisteestä: ja joukko on jana $x(t)=|t|$ $t_{0}=0$ ${\textrm {Cont}}\ x(0)$ $\pm1,$ ${\textrm {Parat))\ x(0)$ ${\näyttötyyli [-1,+1].}$

Yleensä aina . Jos on tavallinen derivaatta, niin ja jos tavallinen derivaatta on jossain pisteen naapurustossa ja on jatkuva tässä pisteessä itse, niin . ${\textrm {Cont}}\subset {\textrm {Parat}}$ $x'(t_{0}),$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),$ $x'(t)$ $t_0$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})$

Kirjallisuus

Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D. , Obukhovskiy V. V. Johdatus moniarvoisten kartoitusten ja differentiaalisten inkluusioten teoriaan, — Mikä tahansa painos.
Blagodatskikh V. I. Optimaalisen ohjauksen esittely, Higher School, Moskova, 2001.
Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Differentiaaliset sulkeumat ja optimaalinen ohjaus , - Tr. MIAN, osa 169 (1985).
Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Extremaalisten ongelmien teoria, Fizmatlit, Moskova, 1974.
A. F. Filippov . Joistakin optimaalisen hallinnan kysymyksistä. - Moskovan valtionyliopiston tiedote, Matem. ja mech., N2 (1959).
A. F. Filippov. Differentiaaliyhtälöt, joissa on epäjatkuva oikea puoli. - M .: Nauka, 1985.
A. cellina . KATSAUS EROTUSLUOTTEISTA , -Rend . Sem. Matto. Univ. Paul Torino - Voi. 63, 3 (2005).