Todiste siitä, että π on irrationaalinen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Johann Heinrich Lambert osoitti 1760-luvulla, että luku π on irrationaalinen , eli sitä ei voida esittää a / b :lla , missä a on kokonaisluku ja b luonnollinen luku. 1800-luvulla Charles Hermite löysi toisen todisteen käyttämällä vain laskennan perustyökaluja . Jatkossa Mary Cartwright , Ivan Niven ja Nicola Bourbaki pystyivät yksinkertaistamaan Hermiten todistusta, kun taas Miklós Lackowicz yksinkertaisti Lambertin todistusta.

Vuonna 1882 Ferdinand von Lindemann osoitti , että π ei ole vain irrationaalinen, vaan myös transsendentaalinen . [yksi]

Lambertin todiste

Vuonna 1761 Lambert osoitti π:n irrationaalisuuden perustuen jatkuvaan murtolukuesitykseen, jonka hän löysi tangentille :

\tan(x)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^ {2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.

Lambert osoitti, että jos x on nollasta poikkeava ja rationaalinen, niin tämä lauseke on irrationaalinen. Koska tg(π/4) = 1, tästä seuraa, että π/4 on irrationaalinen ja siksi myös π on irrationaalinen. [2]

Miklós Lackowicz yksinkertaisti Lambertin todistusta, katso alla.

Eremitin todiste

Tämä todistus käyttää sitä tosiasiaa, että π on pienin positiivinen luku, jonka puolet on nollakosininen , mikä todistaa, että π 2 on irrationaalinen . [3] [4] Kuten monet luvun irrationaalisuuden todisteet, tämäkin on ristiriitainen todiste .

Tarkastellaan funktioiden A n ja U n jaksoja alkaen to kaavalla : $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $n\in \mathbb{N} _{0}$

{\begin{aligned}A_{0}(x)&=\sin(x),&&A_{n+1}(x)=\int _{0}^{x}yA_{n}(y )\,dy\\[4pt]U_{0}(x)&={\frac {\sin(x)}{x)),&&U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{ n}'(x)}{x}}\end{aligned}}

Induktiolla voimme todistaa

{\begin{aligned}A_{n}(x)&={\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2n+ 3 }}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{2n+5}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \ \ [4pt]U_{n}(x)&={\frac {1}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2}}{2\times (2n+3)!! }}+{\frac {x^{4}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \end{aligned}}

ja siksi:

U_{n}(x)={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}.\,

Missä

{\begin{aligned}{\frac {A_{n+1}(x)}{x^{2n+3}}}&=U_{n+1}(x)=-{\frac { U_{n}'(x)}{x}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\oikea)\\[6pt]&=-{\frac {1}{x}}\left({\frac {A_{n }'(x)\cdot x^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}A_{n}(x)}{x^{2(2n+1)}}}\oikea)= {\frac {(2n+1)A_{n}(x)-xA_{n}'(x)}{x^{2n+3}}}\end{aligned}}

joka vastaa

A_{n+1}(x)=(2n+1)A_{n}(x)-x^{2}A_{n-1}(x).\,

Funktioiden määritelmää käyttämällä voidaan osoittaa induktiolla, että

A_{n}(x)=P_{n}(x^{2})\sin(x)+xQ_{n}(x^{2})\cos(x),\,

missä P n ja Q n ovat polynomifunktioita, joilla on kokonaislukukertoimet, P n :n aste on pienempi tai yhtä suuri kuin ⌊ n /2⌋. Erityisesti A n (π/2) = Р n (π 2 /4).

Hermite johti myös suljetun lausekkeen funktiolle A n , nimittäin

A_{n}(x)={\frac {x^{2n+1}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2 })^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z.\,

Hän ei perustellut tätä tasa-arvoa, mutta se on helppo todistaa. Ensinnäkin tämä lausunto vastaa

{\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\ mathrm {d} z={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}=U_{n}(x).

Argumentointi induktiolla, kun n=0 .

\int _{0}^{1}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {\sin(x)}{x}}=U_{0}(x)

ja harkitse induktiovaihetta varten mielivaltaista . Jos $n\in \mathbb {N}$

{\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\ matematiikka {d} z=U_{n}(x),

sitten käyttämällä osien integrointia ja Leibnizin sääntöä voidaan saada

{\begin{aligned}{\frac {1}{2^{n+1}(n+1)!}}&\int _{0}^{1}(1-z^{2} )^{n+1}\cos(xz)\,\mathrm {d} z\\&={\frac {1}{2^{n+1}(n+1)!}}\left(\ yliviivaus {\left.(1-z^{2})^{n+1}{\frac {\sin(xz)}{x}}\right|_{z=0}^{z=1}} ^{=0}+\int _{0}^{1}2(n+1)(1-z^{2})^{n}z{\frac {\sin(xz)}{x}} \,\mathrm {d} z\right)\\[8pt]&={\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{ 0}^{1}(1-z^{2})^{n}z\sin(xz)\,\mathrm {d} z\\[8pt]&=-{\frac {1}{x} }\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1 }(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z\oikea)\\[8pt]&=-{\frac {U_{n}'(x) }{x}}\\[4pt]&=U_{n+1}(x).\end{aligned}}

Jos π 2 /4 = p/q , missä p ja q ovat arvosta , niin koska P n :n kertoimet ovat kokonaislukuja ja sen aste on pienempi tai yhtä suuri kuin ⌊ n /2⌋, q ⌊n/2⌋ P n ( π 2 /4) on jokin kokonaisluku N. Toisin sanoen, $\mathbb {N}$

N=q^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }A_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=q ^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {\left({\frac {p}{q}}\right)^{n+{\frac {1} {2}}}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos \left({\frac {\pi }{2}}z\oikea)\,\mathrm {d} z.

Mutta tämä luku on selvästi suurempi kuin 0. Toisaalta tämän suuren raja, kun n menee äärettömyyteen, on yhtä suuri kuin nolla, ja siksi, jos n on tarpeeksi suuri, N < 1. Siten saavutetaan ristiriita .

Hermite ei pyrkinyt todistamaan tarkasti π:n irrationaalisuutta, tämä oli sivupäätelmä etsiessään todisteita π:n ylityksestä. Hän harkitsi toistuvia suhteita saadakseen kätevän yhtenäisen esityksen. Integraaliesityksen saatuaan on mahdollista löytää useita ytimekkäitä ja itseriittäviä todisteita (kuten Cartwrightin, Bourbakin tai Nivenin esityksissä), jotka Hermite huomasi (hän teki juuri sen todistuksessaan e :n ylittävyydestä [5]) . ).

Hermiten todiste on lähellä Lambertin todistusta: A n ( x ) on "jäännös" Lambertin jatkuvasta murtoluvusta tg( x ).

Cartwrightin todiste

Harold Jeffreys kirjoitti, että Mary Cartwright antoi tämän todisteen esimerkkinä Cambridgen yliopiston kokeessa vuonna 1945, mutta hän ei tunnistanut sen alkuperää. [6]

Harkitse integraaleja

I_{n}(x)=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,dz,

jossa n on ei-negatiivinen kokonaisluku.

Kaksi osien integrointia antavat toistuvuusrelaation

x^{2}I_{n}(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x).\qquad (n\geq 2)

Merkitsee

J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x),

saamme

J_{n}(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^{2}J_{n-2}(x).

Koska J 0 ( x ) = 2sin( x ) ja J 1 ( x ) = −4 x cos( x ) + 4sin( x ), siis kaikille n ∈ Z + ,

J_{n}(x)=x^{2n+1}I_{n}(x)=n!{\bigl (}P_{n}(x)\sin(x)+Q_{n} (x)\cos(x){\bigr )},

missä P n ( x ) ja Q n ( x ) ovat polynomeja, joiden aste on ≤ n ja joilla on kokonaislukukertoimet .

Otetaan x = π/2 ja oletetaan, että π/2 = a/ b , missä a ja b ovat luonnollisia lukuja (eli oletetaan, että π on rationaalinen). Sitten

{\frac {a^{2n+1}}{n!}}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=P_{n}\left({ \frac {\pi }{2}}\right)b^{2n+1}.

Oikea puoli on kokonaisluku. Mutta 0 < I n (π/2) < 2, koska välin [−1, 1] pituus on 2 ja integroitava funktio saa arvot 0:sta 1:een.

{\frac {a^{2n+1}}{n!}}\to 0\quad {\text{ as }}n\to \infty .

Siksi riittävän suurille n

0<{\frac {a^{2n+1}I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}{n!)}}<1,

toisin sanoen on kokonaisluku välillä 0 ja 1. Tämä ristiriita seuraa olettamuksesta, että π on rationaalinen.

Tämä todiste on samanlainen kuin Hermiten todistus. Todellakin,

{\begin{aligned}J_{n}(x)&=x^{2n+1}\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\ cos(xz)\,dz\\[5pt]&=2x^{2n+1}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\ ,dz\\[5pt]&=2^{n+1}n!A_{n}(x).\end{aligned}}

Se on kuitenkin selvästi helpompaa. Tämä saavutetaan eliminoimalla funktioiden A n induktiivinen määrittely ja ottamalla lähtökohtana niiden lauseke integraalina.

Nivenin todiste

Tämä todistus käyttää sitä tosiasiaa, että π on sinin pienin positiivinen nolla . [7]

Oletetaan, että π on rationaalinen, eli π = a / b joillekin kokonaisluvuille a ja b ≠ 0 , joita voidaan pitää positiivisina ilman yleisyyden menetystä . Jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n määritämme polynomifunktion:

f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!)}}

ja mille tahansa x ∈ ℝ laitamme

F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)+\cdots +(-1)^{n}f^{(2n)}( x).

Lause 1: F (0) + F (π) on kokonaisluku.

Todistus: Esitetään f x :n potenssien summana , jolloin kerroin x k on luku muotoa c k / n ! , jossa c k on kokonaisluku, joka on yhtä suuri kuin 0, kun k < n . Siksi f ( k ) (0) = 0, kun k < n ja on yhtä kuin ( k !/ n !) ck , kun n ≤ k < 2n ; kaikissa tapauksissa f ( k ) (0) on kokonaisluku ja siksi myös F (0) on kokonaisluku.

Toisaalta f (π – x ) = f ( x ) ja siten (–1) k f ( k ) (π – x ) = f ( k ) ( x ) mille tahansa ei-negatiiviselle kokonaisluvulle k . Erityisesti (–1) k f ( k ) (π) = f ( k ) (0). Siksi f ( k ) (π) on myös kokonaisluku, joten F (π) on kokonaisluku (itse asiassa on helppo nähdä, että F (π) = F (0), mutta tämä ei liity todistukseen. ). Koska F (0) ja F (π) ovat kokonaislukuja, niin on myös niiden summa.

Lausuma 2:

\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=F(0)+F(\pi )

Todistus: Koska f (2 n + 2) on nollapolynomi, se on totta

F''+F=f.

Sini- ja kosinifunktioiden derivaatat määritellään kaavoilla sin' = cos ja cos' = −sin . Siksi tuotesäännön mukaan

(F'\cdot \sin -F\cdot \cos )'=f\cdot \sin

Analyysin päälauseen mukaan

\left.\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx={\bigl (}F'(x)\sin xF(x)\cos x{ \bigr )}\right|_{0}^{\pi }.

Siitä tosiasiasta, että sin 0 \u003d sin π \u003d 0 ja cos 0 \u003d - cos π \u003d 1 (tässä käytetään yllä mainittua ominaisuutta π sinin nollana), seuraa lause 2.

Johtopäätös: koska f ( x ) > 0 ja sin x > 0 kun 0 < x < π (koska π on sinin pienin positiivinen nolla), lauseet 1 ja 2 viittaavat siihen, että F (0) + F (π) on positiivinen koko numero. Koska 0 ≤ x ( a – bx ) ≤ π a ja 0 ≤ sin x ≤ 1 arvolla 0 ≤ x ≤ π , f :n määritelmä tarkoittaa

\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx\leq \pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!)}}

joka on pienempi kuin 1 suurelle n :lle , joten F (0) + F (π) < 1 näille n :lle lauseella 2. Tämä ei ole mahdollista luonnolliselle luvulle F (0) + F (π) .

Yllä oleva todiste, turvautumatta monimutkaisiin laskelmiin, antaa tyylikkään analyysin kaavasta

\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\left( f^{(2j)}(\pi )+f^{(2j)}(0)\oikea)+(-1)^{n+1}\int _{0}^{\pi }f^{ (2n+2)}(x)\sin(x)\,dx,

joka saadaan 2 n + 2 integroinnilla osittain . Lause 2 olennaisesti johtaa tämän kaavan, F :n käyttö piilottaa toistuvan integroinnin osittain. Viimeinen integraali katoaa, koska f (2 n + 2) on nollapolynomi. Lause 1 osoittaa, että jäljellä oleva summa on kokonaisluku.

Nivenin todiste on lähempänä Cartwrightin (ja siten Hermiten) todisteita kuin miltä se aluksi näyttää. Todellinen tasa-arvo

{\begin{aligned}J_{n}(x)&=x^{2n+1}\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\ cos(xz)\,dz\\&=\int _{-1}^{1}\left(x^{2}-(xz)^{2}\oikea)^{n}x\cos(xz )\,dz.\end{aligned}}

Siksi substituutio xz = y muuttaa tämän integraalin muotoon

\int _{-x}^{x}(x^{2}-y^{2})^{n}\cos(y)\,dy.

Erityisesti,

{\begin{aligned}J_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\ vasen({\frac {\pi ^{2}}{4}}-y^{2}\right)^{n}\cos(y)\,dy\\[5pt]&=\int _{0 }^{\pi }\left({\frac {\pi ^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\oikea )^{n}\cos \left(y-{\frac {\pi }{2}}\right)\,dy\\[5pt]&=\int _{0}^{\pi }y^{ n}(\pi -y)^{n}\sin(y)\,dy\\[5pt]&={\frac {n!}{b^{n}}}\int _{0}^{ \pi }f(x)\sin(x)\,dx.\end{aligned}}

Todistukset ovat samanlaisia myös siinä mielessä, että Hermite jo mainitsi [3] , että jos f on polynomifunktio ja

F=ff^{(2)}+f^{(4)}\mp \cdots ,

sitten

\int f(x)\sin(x)\,dx=F'(x)\sin(x)-F(x)\cos(x)+C,

mistä se seuraa

\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx=F(\pi )+F(0).

Bourbakin todiste

Bourbakin todistus esitetään harjoituksena hänen analyysityössään . [8] Mikä tahansa luonnollinen luku b ja ei-negatiivinen kokonaisluku n ,

A_{n}(b)=b^{n}\int _{0}^{\pi }{\frac {x^{n}(\pi -x)^{n}}{n! }}\sin(x)\,dx.

Koska A n ( b ) on integraali funktiosta, joka on määritelty kohdassa [0, π] ja saa arvon 0 kohdissa 0 ja π ja suurempi kuin 0 muissa pisteissä, niin A n ( b ) > 0. luonnollinen luku b , A n ( b ) < 1 riittävän suurelle n :lle on riittävän suuri, koska

x(\pi -x)\leq \left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}

ja siksi

A_{n}(b)\leq \pi b^{n}{\frac {1}{n!)}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{ 2n }=\pi {\frac {(b\pi ^{2}/4)^{n}}{n!}}.

Toisaalta rekursiivinen integrointi osilla johtaa siihen johtopäätökseen, että jos a ja b ovat luonnollisia lukuja siten, että π = a / b ja f on polynomifunktio välillä [0, π] arvoon R, määritelty kaavalla

f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}),

sitten

{\begin{aligned}A_{n}(b)&=\int _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)\,dx\\[5pt]&={\ Iso [}-f(x)\cos(x){\Big ]}_{x=0}^{x=\pi }-{\Big [}-f'(x)\sin(x){\ Iso ]}_{x=0}^{x=\pi }+\cdots \pm {\Big [}f^{(2n)}(x)\cos(x){\Big ]}_{x= 0}^{x=\pi }\pm \int _{0}^{\pi }f^{(2n+1)}(x)\cos(x)\,dx.\end{aligned}}

Tämä integraali on 0, koska f ( 2n +1) on nollafunktio (koska f on 2n -asteinen polynomi ). Koska mikä tahansa funktio f ( k ) ( 0 ≤ k ≤ 2 n ) saa kokonaislukuarvot kohdissa 0 ja π ja sama pätee sinille ja kosinille, tämä todistaa, että A n ( b ) on kokonaisluku. Koska se on myös suurempi kuin 0, sen on oltava luonnollinen luku. Mutta on myös todistettu, että A n ( b ) < 1 riittävän suurelle n :lle, mikä johtaa ristiriitaan .

Tämä todistus on melko lähellä Nivenin todistusta, suurin ero niiden välillä on todiste siitä, että luvut A n ( b ) ovat kokonaislukuja.

Lackovichin todiste

Miklós Lackowiczin todistus on yksinkertaistus Lambertin todistuksesta. [9]

Harkitse toimintoja

f_{k}(x)=1-{\frac {x^{2}}{k}}+{\frac {x^{4}}{2!k(k+1)))- {\frac {x^{6}}{3!k(k+1)(k+2)}}+\cdots \quad (k\notin \{0,-1,-2,\ldots \}) .

Nämä funktiot on määritelty kaikille x ∈ R. Tasa-arvo on totta

f_{\frac {1}{2}}(x)=\cos(2x),

f_{\frac {3}{2}}(x)={\frac {\sin(2x)}{2x}}.

Väite 1. Seuraava toistuvuussuhde on tosi :

\forall x\in \mathbb {R} :\qquad {\frac {x^{2}}{k(k+1)))f_{k+2}(x)=f_{k+1 }(x)-f_{k}(x).

Todistus: Todettu vertaamalla x :n potenssien kertoimia .

Lause 2: mille tahansa x ∈ R , $\lim _{k\to +\infty }f_{k}(x)=1.$

Todistus: Sarja x 2 n / n ! on rajallinen (koska se konvergoi nollaan) ja jos C on sen yläraja ja jos k > 1 niin

\left|f_{k}(x)-1\right|\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C}{k^{n))}=C{ \frac {1/k}{1-1/k}}={\frac {C}{k-1}}.

Lause 3: jos x ≠ 0 ja jos x 2 on rationaalinen, niin

\forall k\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0,-1,-2,\ldots \}:\qquad f_{k}(x)\neq 0\quad {\text{ and } }\quad {\frac {f_{k+1}(x)}{f_{k}(x)}}\notin \mathbb {Q} .

Todistus: Muuten olisi luku y ≠ 0 ja kokonaisluvut a ja b siten, että f k ( x ) = ay ja f k + 1 ( x ) = by . Ymmärtääksemme miksi näin on, asetetaan y = f k + 1 ( x ), a = 0 ja b = 1, kun f k ( x ) = 0; muussa tapauksessa valitse kokonaisluvut a ja b siten, että f k + 1 ( x )/ f k ( x ) = b / a ja määritä y = f k ( x )/ a = f k + 1 ( x )/ b . Kaikissa tapauksissa y ei ole yhtä suuri kuin 0, koska muuten lauseesta 1 seuraa, että kaikki f k + n (x) = 0 ( n ∈ N ), mikä olisi ristiriidassa lauseen kanssa. 2. Otetaan nyt luonnollinen luku c siten, että kaikki kolme lukua bc / k , ck / x 2 ja c / x 2 ovat kokonaislukuja, ja harkitse sarjaa

g_{n}={\begin{cases}f_{k}(x)&n=0\\{\dfrac {c^{n}}{k(k+1)\cdots (k+n- 1)}}f_{k+n}(x)&n\neq 0\end{cases}}

Missä

g_{0}=f_{k}(x)=ay\in \mathbb {Z} y\quad {\text{ and }}\quad g_{1}={\frac {c}{k} }f_{k+1}(x)={\frac {bc}{k}}y\in \mathbb {Z} y.

Toisaalta väite 1 tarkoittaa

{\begin{aligned}g_{n+2}&={\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1) }}\cdot {\frac {x^{2}}{(k+n)(k+n+1)}}f_{k+n+2}(x)\\[5pt]&={\frac {c^{n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n+1}(x)-{\frac {c^ {n+2}}{x^{2}k(k+1)\cdots (k+n-1)}}f_{k+n}(x)\\[5pt]&={\frac {c (k+n)}{x^{2}}}g_{n+1}-{\frac {c^{2}}{x^{2}}}g_{n}\\[5pt]&= \left({\frac {ck}{x^{2}}}+{\frac {c}{x^{2}}}n\right)g_{n+1}-{\frac {c^{ 2}}{x^{2}}}g_{n},\end{aligned}}

joka on lineaarinen yhdistelmä g n + 1 :stä ja g n :stä kokonaislukukertoimilla. Siksi kaikki g n ovat y :n kokonaislukukerrannaisia . Lisäksi utv. 2, että kaikki g n ovat suurempia kuin 0 (ja siten g n ≥ | y |) riittävän suurelle n :lle ja että jono g n konvergoi arvoon 0. Mutta alhaalta rajattu lukujono | klo | ei voi supistua nollaan.

Koska f 1/2 (π/4) = cos(π/2) = 0, väittämästä. Kuviosta 3 seuraa, että π 2 /16 on irrationaalinen luku ja siksi myös π on irrationaalinen.

Toisaalta siitä lähtien

\tan x={\frac {\sin x}{\cos x))=x{\frac {f_{3/2}(x/2)}{f_{1/2}(x/2 )}},

hyväksytystä alkaen. 3 tarkoittaa myös, että tg(x) on irrationaalinen arvolle x ∈ Q \ {0}.

Lachkovicin todistus koskee itse asiassa hypergeometrisiä funktioita . Yhtälö f k ( x ) = 0 F 1 ( k ; − x 2 ) on totta, lisäksi hypergeometrinen funktio voidaan esittää jatkuvana murtolukuna, jonka Gauss määritti funktionaalisella yhtälöllään . Tämä antoi Lachkovicille mahdollisuuden löytää uusi ja yksinkertaisempi todiste siitä, että tangentti voidaan ilmaista jatkuvana murtolukuna, jonka Lambert löysi.

Lachkovicin tulos voidaan ilmaista myös ensimmäisen tyyppisillä Besselin funktioilla J ν ( x ) . Koska Γ ( k ) J k − 1 (2 x ) = x k − 1 f k ( x ), Lachkovicin lause vastaa seuraavaa: jos x ≠ 0 ja jos x 2 on rationaalinen, niin

\forall k\in \mathbb {Q} \smallsetminus \{0,-1,-2,\ldots \}:\qquad {\frac {xJ_{k}(x)}{J_{k-1 }(x)}}\notin \mathbb {Q} .

Katso myös

Todiste e:n irrationaalisuudesta
Todiste π:n ylityksestä

Muistiinpanot

↑ Lindemann, Ferdinand von (2004), Ueber die Zahl π, Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M. & Borwein, Peter B. , Pi, lähdekirja (3. painos), New York: Springer-Verlag , s. 194–225, ISBN 0-387-20571-3
↑ Lambert, Johann Heinrich (2004), Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logathmiques, Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M. & Borwein, Peter B. , Pi, lähdekirja (3. painos), New York: Springer-Verlag , s. 129–140, ISBN 0-387-20571-3
↑ 12 Eremiitti , Charles Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite à Monsieur Paul Gordan (fr.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : aikakauslehti. - 1873. - Voi. 76 . - s. 303-311 .
↑ Eremiitti, Charles Extrait d'une lettre de Mr. Ch. Hermite ja Mr. Carl Borchardt (fr.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : aikakauslehti. - 1873. - Voi. 76 . - s. 342-344 .
↑ Eremiitti, Charles. Sur la fonction exponentielle // Œuvres de Charles Hermite (fr.) . - Gauthier-Villars, 1912. - S. 150-181.
↑ Jeffreys, Harold (1973), Scientific Inference (3. painos), Cambridge University Press, s. 268 , ISBN 0-521-08446-6 , < https://archive.org/details/scientificinfere0000jeff/page/268 >
↑ Niven, Ivan (1947), Yksinkertainen todiste siitä, että π on irrationaalinen , s. 509 , < http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf > Arkistoitu 4. tammikuuta 2010 Waybackissa Kone
↑ Bourbaki, Nicolas (1949), Fonctions d'une variable réelle, kappale. I–II–III , voi. 1074, Actualités Scientifiques et Industrielles, Hermann , s. 137-138
↑ Laczkovich, Miklós (1997), Lambertin todisteesta π:n irrationaalisuudesta , American Mathematical Monthly , osa 104 (5): 439–443 , DOI 10.2307/2974737