Palovamma ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Burnside-ongelma  on joukko ryhmäteorian ongelmia, jotka liittyvät kysymykseen mahdollisuudesta määrittää ryhmän äärellisyys pelkästään sen elementtien ominaisuuksien perusteella: pitäisikö äärellisesti generoidun ryhmän , jossa jokaisella elementillä on äärellinen järjestys, välttämättä olla äärellinen.

Burnside laati vuonna 1902 . Sitä pidetään yhtenä ryhmäteorian keskeisistä ongelmista.

Kun tiettyjä ehtoja lisätään, saadaan rajoitettu Burnside-ongelma, heikennetty Burnside-ongelma.

Historia

Alkutyöt suuntautuivat ongelman positiiviseen ratkaisuun, koska kaikki tunnetut erikoistapaukset antoivat myönteisen vastauksen. Esimerkiksi, jos ryhmä on muodostettu elementeillä ja sen jokaisen elementin järjestys on 4:n jakaja, se on äärellinen. Lisäksi vuonna 1959 Kostrikin (jos kyseessä on yksinkertainen eksponentti ) [1] ja 1980-luvulla Zelmanov (kun kyseessä on ensisijainen eksponentti) osoittivat, että äärellisistä ryhmistä, joilla on tietty määrä generaattoreita ja eksponenteja, on olemassa suurin . Äärillisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu ja Kostrikin-Zelmanovin tulokset viittaavat siihen, että kaikista äärellisistä ryhmistä on suurin äärellinen ryhmä tietyllä generaattoreiden määrällä ja tietyllä eksponentilla.

Yleinen vastaus Burnside-ongelmaan osoittautui kuitenkin kielteiseksi. Vuonna 1964 Golod ja Shafarevich rakensivat äärettömän Burnside-tyyppisen ryhmän olettamatta, että jokaisella elementillä on tasaisesti rajattu järjestys. Vuonna 1968 Novikov ja Adyan ehdottivat negatiivista ratkaisua ongelmaan rajatulla eksponentilla kaikille parittomille eksponenteille, jotka ovat suurempia kuin 4381 [2] [3] [4] . Vuonna 1975 Adian paransi menetelmää ja antoi ongelmaan negatiivisen ratkaisun rajatulla eksponentilla kaikille parittomille eksponenteille, jotka ovat suurempia kuin 665 [5] . Vuonna 1982 Olshansky löysi useita vastaesimerkkejä (erityisesti Tarskin hirviö ) riittävän suurille parittomille eksponenteille (suurempi kuin ) ja esitti geometrisiin ideoihin perustuvan todisteen.

Parillisen eksponentin tapaus osoittautui monimutkaisemmaksi. Vuonna 1992 Ivanov ilmoitti negatiivisesta ratkaisusta riittävän suurille parillisille eksponenteille, jotka jaetaan 2:n suurilla potenssilla (yksityiskohtainen todiste julkaistiin vuonna 1994 ja kesti noin 300 sivua). Myöhemmin yhteisessä työssä Olshansky ja Ivanov antoivat negatiivisen ratkaisun Burnside-ongelman analogille hyperbolisten ryhmien tapauksessa, mikäli eksponentti on riittävän suuri.

Ongelman tila

Rajoittamaton Burnside-ongelma . Äärillisesti luodussa ryhmässä kaikilla elementeillä on äärellinen järjestys. On kuitenkin mahdollista, että näitä tilauksia ei ole kokonaisuudessaan rajoitettu. Seuraako tästä, että ryhmässä on äärellinen määrä elementtejä?

Rajoitettu Burnside-ongelma . Äärillisesti luodussa ryhmässä kaikkien elementtien järjestys ei ylitä tiettyä määrää. Onko totta, että tämä on rajallisen järjestyksen ryhmä?

Muistiinpanot

  1. ↑ Kostrikin, A. I. Neuvostoliiton tiedeakatemian julkaisut // Mathematical Series. - 1959. - v. 23. - Nro 1. - s. 3-34.
  2. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Äärettömästä jaksollisista ryhmistä. I  // Neuvostoliiton tiedeakatemian julkaisut. Matemaattinen sarja. - 1968. - T. 32, numero 1 . - S. 212-244 .
  3. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Äärettömästä jaksollisista ryhmistä. II  // Neuvostoliiton tiedeakatemian julkaisut. Matemaattinen sarja. - 1968. - T. 32, numero 2 . - S. 251-524 .
  4. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Äärettömästä jaksollisista ryhmistä. III  // Neuvostoliiton tiedeakatemian julkaisut. Matemaattinen sarja. - 1968. - T. 32, numero 3 . - S. 709-731 .
  5. ↑ Adyan S.I. Burnside-ongelma ja identiteetit ryhmissä. - M . : Nauka, 1975. - S. 336.

Kirjallisuus

Linkit