Volterran integraaliyhtälö

Volterran integraaliyhtälö ( myös Volterran integraaliyhtälön [1] kirjoitusasu on yleinen) on integraaliyhtälöiden erityinen tyyppi . Italian matemaatikko Vito Volterran ehdottama ja myöhemmin Traian Lalescu opiskeli vuonna 1908 kirjoitetussa Sur les équations de Volterrassa Émile Picardin johdolla . Vuonna 1911 Lalescu kirjoitti ensimmäisen kirjan integraaliyhtälöistä. Yhtälöitä käytetään demografiassa, viskoelastisten materiaalien tutkimuksessa, vakuutusmatematiikassa palautusyhtälön kautta.

Nämä yhtälöt on jaettu kahteen tyyppiin.

Ensimmäisen tyyppinen lineaarinen Volterra-yhtälö:

f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds

missä on annettu funktio ja on tuntematon funktio. $f$ $x$

Toisen tyypin lineaarinen Volterra-yhtälö:

x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds

Operaattoriteoriassa ja Fredholmin teoriassa vastaavia yhtälöitä kutsutaan Volterra-operaattoriksi .

Integraalissa olevaa funktiota kutsutaan usein ytimeksi . Tällaisia yhtälöitä voidaan analysoida ja ratkaista Laplacen menetelmällä. $K$

Yhtälöt homogeenisen ytimen kanssa

Ensimmäinen laji

f(t)=\int _{0}^{t}K(ts)\,x(s)\,ds

Ratkaisu perustuu Laplace-muunnokseen . Suorita Laplace-muunnos yhtälön molemmille puolille ja merkitsee sitä tildellä:

{\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)

Tällä tavalla,

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}({\tilde {K}}(p)))

Jos funktioille yleensä vastaavasti, niin suurille funktioille . Tämä tarkoittaa, että toiminnallinen panos on annettava. Ratkaisu näyttää siis tältä $t\to 0$ ${\näyttötyyli K(t),f(t)}$ ${\displaystyle K_{0},f_{0))$ $s$ ${\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}$ $\delta$

x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac { dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)))-{\frac { f_{0}}{K_{0}}}}\oikea)

Toinen laji

f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(ts)x(s)\,ds

Samanlainen päättely johtaa siihen tosiasiaan

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)))

Tässä tapauksessa epävarmuutta ei esiinny ja

x(t)=\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{ \tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\oikea)

Muistiinpanot

↑ Verzhbitsky M.V. Numeeriset menetelmät (matemaattinen analyysi ja tavalliset differentiaaliyhtälöt). Opinto-opas . - Directmedia, 2014. - S. 351. - 400 s. — ISBN 9785445838760 .