Whittaker-Shannonin interpolaatiokaava
Whittaker-Shannonin interpolaatiokaavaa käytetään rajallisen spektrin jatkuvan signaalin rekonstruoimiseen tasaisin välein olevien näytteiden sekvenssistä.
Interpolointikaava, kuten sitä yleensä kutsutaan, juontaa juurensa Émile Borelin työhön , joka on päivätty 1898, ja Edmund Whittakerin työhön , joka on päivätty 1915. Interpolointikaava lainattiin Edmund Whittakerin pojan John McNaten Whittakerin teoksesta vuodelta 1935 Nyquist-Shannonin näytteenottolauseen muodossa vuonna 1949, pääkirjoituksen kirjoittaja oli Claude Shannon , ennen Shannonia tämän lauseen muotoili Kotelnikov . Interpolaatiokaavaa kutsutaan myös yleensä Shannonin interpolointikaavaksi tai Whittakerin interpolointikaavaksi .
Näytteenottolauseessa sanotaan, että tietyissä rajoittavissa olosuhteissa funktio voidaan rekonstruoida sen diskretisoinnista Whittaker-Shannonin interpolointikaavan mukaan :
![{\displaystyle x[n]=x(nT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9d6e2763c5e892b633aaf8be4bf00618515188)
![{\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T))\ oikein),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6d2d2f00e664ba75bdd968b2ae659ab41e7ded)
missä on näytteenottojakso, on näytteenottotaajuus, on normalisoitu sinc-funktio .
Rajaehdot
On olemassa kaksi reunaehtoa, jotka funktion on täytettävä , jotta interpolointikaava pätee:
- olisi rajoitettava. Funktion Fourier-muunnoksen on oltava seuraava ominaisuus: for , missä .
- Näytteenottotaajuuden on oltava vähintään kaksinkertainen taajuusalueeseen verrattuna , tai vastaavasti:
missä on näytteenottoaika.
Interpolointikaava luo alkuperäisen signaalin uudelleen vain, kun nämä kaksi ehtoa täyttyvät. Muuten korkeataajuiset komponentit ovat päällekkäin matalataajuisten komponenttien päälle - aliasing .
Interpolointi konvoluutioiden summana
Kotelnikovin lauseesta johdettu interpolaatiokaava osoittaa, että se voidaan ilmaista myös Diracin "kamman" konvoluutiona sinc - funktiolla :
![{\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left ({\frac {t}{T}}\oikea).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e87c26466baa6a011c9ef6b59a06c04f223fe)
Tämä vastaa Diracin "kampa"-suodatusta ihanteellisen alipäästösuodattimen kanssa .
Lähentyminen
Interpolointikaava konvergoi aina tietysti ja paikallisesti tasaisesti seuraavilla ehdoilla:
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n))\right|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc98dad55190ee968c1c9dc795abb0ee2583f8d8)
Hölderin epäyhtälön katsotaan täyttyvän, jos jono kuuluu johonkin -avaruuksiin , missä , mikä vastaa ehtoa:
![{\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c0c91be80ad27a84ec791ae7244bcf2ec9298d)
![{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245713d910b10a53e503661536c3123c1d6e8e7b)
Tämä ehto on riittävä, mutta ei välttämätön.
Satunnaiset kiinteät prosessit
If on diskreetin funktion lukemien ääretön sarja stationaarisen prosessin laajassa merkityksessä , eikä se ole minkään tai -avaruuden jäsen, todennäköisyydellä 1; silloin näiden lukemien summa, korotettuna potenssiin , ei ota lopullista odotettua arvoa. Vaikka interpolointikaava konvergoi todennäköisyydellä 1. Konvergenssi voidaan helposti osoittaa laskemalla ero rajoitetuissa summausolosuhteissa, ja se osoittaa, että ero voidaan tehdä mielivaltaisen pieneksi valitsemalla riittävä määrä ehtoja. Jos tämä prosessi on muu kuin nolla, ehtopareja on tarkasteltava siten, että ne osoittavat, että odotusarvo rajatuista lausekkeista konvergoi nollaan.
Koska satunnaisprosessissa ei ole Fourier-muunnosta , ehdon, jossa summa konvergoi alkuperäiseen funktioon, on myös oltava erilainen. Muuttumattomalla satunnaisprosessilla on autokorrelaatiofunktio ja siten monokromaattinen tiheys Wiener–Khinchin-lauseen mukaisesti . Riittävä ehto konvergensille tämän prosessin diskreettiin funktioon on, että spektritiheys on nolla kaikilla taajuuksilla, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin puolet näytteenotosta.