Konvoluutio (matemaattinen analyysi)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Konvoluutio , konvoluutio on funktionaalisen analyysin operaatio , joka, kun sitä sovelletaan kahteen funktioon ja palauttaa kolmannen funktion, joka vastaa ristikorrelaatiofunktiota ja . Konvoluutiooperaatio voidaan tulkita yhden funktion "samankaltaisuudeksi" toisen funktion peilatun ja siirretyn kopion kanssa. Konvoluution käsite on yleistetty mielivaltaisille mitattavissa oleville avaruuksille määritellyille funktioille , ja sitä voidaan pitää integraalimuunnoksen erityislaatuisena . Diskreetissä tapauksessa konvoluutio vastaa arvojen summaa kertoimilla , jotka vastaavat siirtyneitä arvoja , ts. $f$ $g$ $f(x)$ $g(-x)$ $f$ $g$ ${\näyttötyyli (f*g)(x)=f(1)g(x-1)+f(2)g(x-2)+f(3)g(x-3)+\pisteet }$

Määritelmä

Antaa olla kaksi funktiota integroitavissa suhteessa Lebesguen mittaan avaruudessa . Silloin niiden konvoluutio on kaavan määrittelemä funktio $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f*g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

{\näyttötyyli (f*g)(x)\ }

{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\,g(xy)\,dy=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(xy)\,g(y)\,dy.

Erityisesti , kaava saa muodon $n = 1$

{\näyttötyyli (f*g)(x)\ }

\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(xy)\, dy = \int \limits_{-\infty} ^{\infty} f(xy)\, g(y)\, dy.

Konvoluutio on määritelty melkein kaikille ja se on integroitavissa. ${\näyttötyyli (f*g)(x)}$ $x\in {\mathbb {R} ^{n))$

Siinä tapauksessa, kun , ja funktiot on määritelty intervalleilla , konvoluutio voidaan kirjoittaa muodossa $x\in \mathbb {R}$ $f(x),~g(x)$ $[0,+\infty )$

{\näyttötyyli (f*g)(x)\ }

{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{0}^{x}f(y)\,g(xy)\,dy=\int \limits _{ 0}^{x}f(xy)\,g(y)\,dy.

Ensimmäistä kertaa integraalit, jotka ovat kahden funktion konvoluutio, löytyvät Leonhard Eulerin (1760-luku) teoksista; myöhemmin konvoluutio esiintyy Laplacessa , Lacroix'ssa , Fourier'ssa , Cauchyssa , Poissonissa ja muissa matemaatikoissa. Vito Volterra ehdotti ensimmäisen kerran funktioiden konvoluution merkitsemistä tähdellä vuonna 1912 Sorbonnessa pitämässään luennossa (julkaistu vuotta myöhemmin) [1] .

Ominaisuudet

Kommutatiivisuus :

f*g=g*f

Assosiatiivisuus :

f*(g*h)=(f*g)*h

Lineaarisuus ( distributiivisuus suhteessa yhteenlaskemiseen ja assosiatiivisuus skalaarilla kertomalla ):

{\näyttötyyli (f_{1}+f_{2})*g=f_{1}*g+f_{2}*g}

{\displaystyle f*(g_{1}+g_{2})=f*g_{1}+f*g_{2))

(af)*g=a(f*g)=f*(ag),\quad \forall a\in \mathbb {R}

Erottamisen sääntö:

\mathrm {D} (f*g)=\mathrm {D} f*g=f*\mathrm {D} g

jossa tarkoittaa funktion derivaatta minkä tahansa muuttujan suhteen. $\mathrm{D}f$ $f$

Laplace-muunnos :

{\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{ g(x)\}

Fourier- muunnosominaisuus :

{\mathfrak {F}}[f*g]={\mathfrak {F}}[f]\cdot {\mathfrak {F}}[g]

jossa on funktion Fourier -muunnos . ${\mathfrak {F}}[]$

Jos on diskreetti Fourier-muunnosmatriisi , niin: ${\mathcal {W}}$

{\mathcal {W}}(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y)=({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\ matemaattinen {W}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2) }y

missä on matriisien lopputuloksen symboli [2] [3] [4] [5] [6] , tarkoittaa Kroneckerin tuloa , on Hadamardin tulon symboli (identiteetti on seurausta viitteen ominaisuuksista luonnos [7] ). $\bullet$ $\otimes$ ${\näyttötyyli \circ }$

Esimerkki

Tehtävänä on laskea kuinka lumen määrä millä tahansa maalla muuttuu ajasta riippuen. Tämän ongelman ratkaisu voidaan jakaa kahteen vaiheeseen:

rakentaa lumisademalli ja lumen sulamismalli.
jotenkin yhdistää nämä kaksi mallia yhdeksi.

Ensimmäisen vaiheen tehtävät ratkaistaan havainnoilla ja kokeilla, ja toisen vaiheen tehtävät ratkaistaan ensimmäisessä vaiheessa saatujen mallien konvoluutiolla.

Oletetaan, että ensimmäisen vaiheen ongelman ratkaisun tuloksena rakennettiin kaksi riippuvuutta (matemaattista mallia):

lumisateen määrän riippuvuus nykyisestä ajasta , ${\näyttötyyli {\väri {punainen}g(t)))$
sulamattoman lumen osuuden riippuvuus sen putoamisesta kuluneesta ajasta . ${\displaystyle {\color {Blue}f(\tau )))$

Jos lumi ei alkanut sulaa, kaiken sateen määrä voidaan laskea lisäämällä erillisessä tapauksessa: $G$

G=\sum _{t=0}^{T}g(t)

tai integroimalla, jos kyseessä on jatkuva:

G=\int \limits _{0}^{T}g(t)\,dt

Mutta tässä tapauksessa lumi sulaa, ja lisäksi se ei riipu vain nykyisestä lumen kokonaismäärästä, vaan myös siitä, mihin aikaan tämä tietty lumimäärä on satanut. Kaksi viikkoa sitten satanut lumi saattaa siis olla jo haihtunut, kun taas puoli tuntia sitten satanut lumi makaa edelleen eikä ala edes sulaa.

Osoittautuu, että eri aikoina sateelle lumelle on rakennettava oma sulamismalli ja jotenkin laskettava kaikki nämä mallit yhteen.

Näihin tarkoituksiin voidaan käyttää matemaattisen konvoluution käsitettä. Olkoon siis sillä hetkellä lumi , joka satoi tällä hetkellä $t$ $\tau$

$\tau$ - lumisateen aika. Esimerkiksi 13:00;
${\displaystyle {\color {Red}g(\tau )))$ - tällä hetkellä sataneen lumen määrä. Esimerkiksi 7 kg; ${\näyttötyyli {\tau ))$
$t$ on ajankohta, jolloin meidän on tiedettävä lumisateen tila. Esimerkiksi 15:00; $\tau$
$t-\tau$ - aika, joka on kulunut sateen hetkestä jäljellä olevan lumen osuuden laskemiseen. Eli 15:00 - 13:00 ;
${\displaystyle {\color {Blue}f(t-\tau )))$ - sen lumen osuus, joka ei ole sulanut tuntien makuulla. $t-\tau$

Jokaiselle hetkellä t sataneelle lumimäärälle on tarpeen lisätä mallisarja yhdeksi funktioksi. Jos teemme tämän, saamme summan diskreetissä tapauksessa: ${\displaystyle {\color {Red}g(\tau )))$ $\tau$ $f(t-\tau )$

w(t)=\sum \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau ),

tai kiinteänä jatkuvana:

w(t)=\int \limits _{\tau =0}^{t}g(\tau )f(t-\tau )d\tau .

Graafisesti funktio on esitetty alla, jossa kunkin lumikasan osuudet kaaviosta on esitetty eri väreillä . $w(t)$ ${\näyttötyyli {\väri {punainen}g(x)))$

Toiminto simuloi täysin lumen käyttäytymistä mallin mukaisesti . Yllä olevasta kaaviosta voi siis nähdä, että lumen kokonaismäärä kasvaa kolmella hyppyllä, mutta lumi alkaa sulaa välittömästi, odottamatta muita sateita. $w(t)$ ${\näyttötyyli {\väri {punainen}g(x)))$

Convolution on ryhmät

Antaa olla ryhmä jolla on toimenpide ja kaksi funktiota, jotka on määritelty . Silloin niiden konvoluutio on funktio $G$ $m$ $f,g:G \to \mathbb{R}$ $G$

(f*g)(x)=\int \limits _{G}f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x\in G.

Kokoonpanotoimenpiteet

Olkoon Borel - avaruus ja kaksi mittaa . Silloin niiden konvoluutio on mitta $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$

\mu *\nu (A)=\mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+y\in A\}\ oikea),\quad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),

jossa tarkoittaa mittajen ja . $\mu \otimes \nu$ $\mu$ $\nu$

Ominaisuudet

Antaa olla ehdottoman jatkuva suhteessa Lebesguen toimenpide . Merkitsemme heidän radon-nikodim-johdannaisia : $\mu,\nu$ $m$

f_{\mu }={\frac {d\mu }{dm)),\quad f_{\nu }={\frac {d\nu }{dm)).

Silloin se on myös ehdottoman jatkuva suhteessa , ja sen Radon-Nikodim-johdannainen on muotoa $\mu * \nu$ $m$ $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$

f_{\mu *\nu }=f_{\mu }*f_{\nu }.

Jos ovat todennäköisyysmittauksia , niin se on myös todennäköisyysmitta. $\mu,\nu$ $\mu * \nu$

Jakaumien konvoluutio

Jos ovat kahden riippumattoman satunnaismuuttujan jakaumat ja , sitten $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ $X$ $Y$

\mathbb {P} ^{X+Y}=\mathbb {P} ^{X}*\mathbb {P} ^{Y},

missä on summan jakautuminen . Erityisesti, jos ovat ehdottoman jatkuvia ja niillä on tiheydet , niin satunnaismuuttuja on myös ehdottoman jatkuva ja sen tiheys on muotoa: $\mathbb{P}^{X+Y}$ $X+Y$ $X,Y$ $f_X, f_Y$ $X+Y$

f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Domínguez A. Konvoluutiooperaation historia // IEEE Pulse. - 2015. - Vol. 6, ei. 1. - s. 38-49. Arkistoitu alkuperäisestä 3. helmikuuta 2016.
↑ Slyusar, VI (27. joulukuuta 1996). "Lopputuotteet matriiseissa tutkasovelluksissa" (PDF) . Radioelectronics and Communications Systems. – 1998, Voi. 41; Numero 3 : 50-53. Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 27.07.2020 . Haettu 2020-08-01 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Slyusar, VI (20.5.1997). "Analyyttinen malli digitaalisesta antenniryhmästä kasvojenjakomatriisituotteiden perusteella" (PDF) . Proc. ICATT-97, Kiova : 108-109. Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 25.01.2020 . Haettu 2020-08-01 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Slyusar, VI (15.9.1997). "Uusia matriisitoimintoja tutkasovelluksia varten" (PDF) . Proc. Sähkömagneettisten ja akustisten aaltojen teorian suorat ja käänteiset ongelmat (DIPED-97), Lviv. : 73-74. Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 25.01.2020 . Haettu 2020-08-01 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Slyusar, VI (13. maaliskuuta 1998). "Matriisituoteperhe ja sen ominaisuudet" (PDF) . Cybernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999:n kybernetiikka ja järjestelmäanalyysi C/C . 35 (3): 379-384. DOI : 10.1007/BF02733426 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 25.01.2020 . Haettu 2020-08-01 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Slyusar, VI (2003). "Matriisien yleiset kasvotulot digitaalisten antenniryhmien malleissa, joissa on ei-identtiset kanavat" (PDF) . Radioelektroniikka ja viestintäjärjestelmät . 46 (10): 9-17. Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 20.09.2020 . Haettu 2020-08-01 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Nopeat ja skaalautuvat polynomiytimet eksplisiittisten ominaisuuskarttojen avulla . Kansainvälinen SIGKDD-konferenssi tiedon löytämisestä ja tiedon louhinnasta. Tietotekniikan liitto. DOI : 10.1145/2487575.2487591 .

Kirjallisuus

Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit, - M .: Nauka, 2004 (7. painos).
Shiryaev A. N. Todennäköisyys, - M. : Nauka. 1989.
Napalkov VV Konvoluutioyhtälöt moniulotteisissa avaruudessa. - M., Nauka, 1982. - Levikki 3500 kpl. – 240 s.

Linkit

Java-sovelma
Java-sovelma
Lineaarinen ja syklinen konvoluutio . Haettu: 15. marraskuuta 2010. (Venäjän kieli)

Puristusmenetelmät _

Teoria

Tiedot	Oma Keskinäinen Haje Ehdollinen entropia Monimutkaisuus Redundanssi
Yksiköt	Bitti Nat Napostella Hartley Hartleyn kaava

Häviötön

Entropian pakkaus	Epäsymmetriset lukujärjestelmät Huffmanin algoritmi Mukautuva Huffman-algoritmi Shannon-Fano-algoritmi Shannonin algoritmi Aritmeettinen koodaus ( intervalli ) Golomb koodit Delta Universaali koodi Elias fibonacci
Sanakirjamenetelmät	RLE Tyhjennä LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandardi )
muu	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Audio

Teoria	Convolution PCM Aliasing Näytteenotto Kotelnikovin lause
menetelmät	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP Laki μ-laki ADPCM MDCT Fourier-muunnos Psykoakustinen malli
muu	Äänen kompressori Puheen pakkaus Band koodaus

Kuvat

Ehdot	väriavaruutta Pikseli Saturaatio-alinäytteenotto Pakkausesineitä
menetelmät	RLE DPCM fraktaali aallokko EZW SPIHT LP PrEP PCL
muu	Bittinopeus Normaali testikuva PSNR Kvantisointi

Video

Ehdot	Videon ominaisuudet Kehys Kehystyypit Videon laatu
menetelmät	Liikekompensointi PrEP Kvantisointi aallokko
muu	Videokoodekki Nopeuden vääristymisteoria CBR ABR VBR