Kiinteä kulma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Avaruuskulma on avaruuden osa, joka on kaikkien tietystä pisteestä ( kulman kärjestä ) lähtevien säteiden liitto, jotka leikkaavat jonkin pinnan (jota kutsutaan pinnaksi, joka alittaa tietyn avaruuskulman). Avaruuskulman erityistapauksia ovat kolmi- ja monitahoiset kulmat . Avaruuskulman rajana on jokin kartiomainen pinta . Avaruuskulmaa merkitään yleensä kirjaimella Ω .

Avaruuskulma mitataan tämän avaruuskulman leikkaaman kulman kärjen keskellä olevan pallon osan pinta-alan suhteesta pallon säteen neliöön :

\Omega \,=\,{S \over R^{2}}.

Kiinteät kulmat mitataan abstrakteilla (mitattomilla) suureilla. Avaruuskulman SI -yksikkö on steradiaani , joka on yhtä suuri kuin avaruuskulma, joka katkaisee pinnan, jonka pinta-ala on r 2 , pallosta, jonka säde on r . Täydellinen pallo muodostaa 4π steradiaania ( täysi avaruuskulma ) vastaavan avaruuskulman pallon sisällä sijaitsevalle kärjelle, erityisesti pallon keskipisteelle; sama on avaruuskulma, jonka alla mikä tahansa suljettu pinta on näkyvissä pisteestä, joka on täysin tämän pinnan ympäröimä, mutta joka ei kuulu siihen. Steradiaanien lisäksi avaruuskulmaa voidaan mitata neliöasteina, neliömuuteina ja neliösekunteina sekä täyden avaruuskulman murto-osina.

Avaruuskulmalla on nolla fyysinen ulottuvuus .

Kaksoisavaruuskulma tiettyyn avaruuskulmaan Ω määritellään kulmaksi, joka koostuu säteistä, jotka muodostavat ei-terävän kulman minkä tahansa kulman Ω säteen kanssa.

Kertoimet avaruuskulmayksiköiden muuntamiseen.

$\Omega$	Steradiaani	sq tutkinnon	sq minuutti	sq toinen	täysi kulma
1 steradiaani =	yksi	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 neliömetriä astetta	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅10 7 neliömetriä pöytäkirja	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅10 10 neliömetriä sekuntia	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 täysi kulma
1 neliö tutkinto =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10 −4 steradiaania	yksi	60² = = 3600 neliömetriä pöytäkirja	(60 × 60)² = = 12 960 000 neliömetriä sekuntia	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10 −5 täysi kulma
1 neliö minuutti =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10 −8 steradiaania	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 neliömetriä astetta	yksi	60² = = 3600 neliömetriä sekuntia	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10 −9 täysi kulma
1 neliö toinen =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10 −11 steradiaania	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10 −8 neliömetriä astetta	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 neliömetriä pöytäkirja	yksi	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10 −12 täysi kulma
täysi kulma =	4π ≈ ≈ 12,5663706 steradiaania	(2 × 180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 neliömetriä astetta	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅10 8 neliömetriä pöytäkirja	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅10 11 neliömetriä sekuntia	yksi

Avaruuskulmien laskenta

Mielivaltaiselle kutistuvalle pinnalle S avaruuskulma Ω , jonka alta se näkyy origosta, on yhtä suuri kuin

\Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac { ({\mathbf {r}}/r)\cdot {\mathbf {n}}dS}{r^{2}}},

missä ovat pintaelementin pallokoordinaatit , on sen sädevektori , on yksikkövektori normaali $r,\vartheta ,\varphi$ $ds,$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {n}$ $dS.$

Avaruuskulmien ominaisuudet

Täysi avaruuskulma (koko pallo) on 4 π steradiaania.
Kaikkien kuperan monitahojen sisäisten avaruuskulmien kaksoiskulman summa on yhtä suuri kuin täysi kulma.

Joidenkin avaruuskulmien arvot

Kolmio, jonka kärkikoordinaatit , , näkyy origosta solidissa kulmassa ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{3}$

\Omega =2\,{\mathrm {arctg}}\,{\frac {({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_ {3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({\mathbf {r}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}_{2})r_{3}+ ({\mathbf {r}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}_{3})r_{1}+({\mathbf {r}}_{3}\cdot {\mathbf {r }} }}_{1})r_{2}}},

missä on näiden vektorien sekatulo , ovat vastaavien vektoreiden skalaaritulot , lihavoitu tarkoittaa vektoreita ja normaalityyppi tarkoittaa niiden pituutta. Tämän kaavan avulla voidaan laskea mielivaltaisten monikulmioiden ympäröimät avaruuskulmat , joiden kärkien koordinaatit tunnetaan (tätä varten riittää, että monikulmio jaetaan ei-leikkaaviin kolmioihin).

({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})

({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})

Suoran pyöreän kartion , jonka avautumiskulma on α , avaruuskulma on Jos pohjan säde ja kartion korkeus tunnetaan, niin Kun kartion avautumiskulma on pieni, (kulma ilmaistaan radiaaneina) , tai (kulma ilmaistaan asteina). Joten avaruuskulma, jossa Kuu ja Aurinko näkyvät maasta (niiden kulmahalkaisija on suunnilleen 0,5 °), on noin 6⋅10 -5 steradiaania eli ≈0,0005% taivaanpallon pinta -alasta (eli kokonaisavaruuskulma) . $\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).$ $R$ $H$ $\Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2))))\oikea).$ $\Omega \noin {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}$ $\alpha$ ${\displaystyle \Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2))$ $\alpha$

Dihedraalisen kulman avaruuskulma steradiaaneina on yhtä suuri kuin kaksinkertainen dihedraalikulman arvo radiaaneina.

Kolmikulmaisen kulman avaruuskulma ilmaistaan Lhuillierin lauseella sen tasakulmissa kärjessä seuraavasti: $\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$

\Omega =4\,\operaattorinnimi {arctg}{\sqrt {\operaattorinnimi {tg}\left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({ \frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operaattorin nimi {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}} {2}}\right)\operaattorin nimi {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right))),

missä on puoliperimetri.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

Dihedraalisilla kulmilla avaruuskulma ilmaistaan seuraavasti:

\alpha ,\beta ,\gamma

\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .

Kuution (tai minkä tahansa muun kuution ) kärjessä oleva avaruuskulma on yhtä suuri kuin täysi avaruuskulma tai steradiaani. ${\frac {1}{8))$ ${\frac {\pi }{2))$

Avaruuskulma , jossa säännöllisen N - hedronin pinta näkyy sen keskustasta, on yhtä suuri kuin täysi avaruuskulma tai steradiaani. ${\frac {1}{N}}$ ${\frac {4\pi }{N}}$

Avaruuskulma , jossa säteinen R ympyrä nähdään mielivaltaisesta avaruuden pisteestä (eli avaruuskulma mielivaltaisen ympyräkartion kärjessä, ei välttämättä suorassa), lasketaan käyttämällä täydellisiä elliptisiä integraaleja 1. 3. laji [1] :

\Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)- K(k)\oikea)

klo

r\leq R,

\Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k) \oikea)

klo

r>R,

missä ja ovat 1. ja 3. tyypin täydelliset normaalit elliptiset Legendre-integraalit ;

K(k)

\Pi (\alpha ^{2},k)

r

on etäisyys kartion pohjan keskustasta kartion yläosan projektioon pohjan tasoon;

H

on kartion korkeus;

{\displaystyle L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2))))

on kartion suurimman generatrixin pituus;

k={\frac {\sqrt {4rR}}{L));

\alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.

Kirjallisuus

Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zürichin luento, ss. 1-2, 1940.
Van Oosterom A., Strackee J. Tasokolmion umpikulma // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1983. - Voi. 30. - s. 125-126. — ISSN 0018-9294 . - doi : 10.1109/TBME.1983.325207 . — PMID 6832789 .
Weisstein EW Solid Angle . MathWorldistä - Wolfram-verkkoresurssi.
Gardner RP, Verghese K. Avaruuskulmasta, jota ympäröi pyöreä kiekko // Nuclear Instruments and Methods. - 1971. - Voi. 93. - s. 163-167. - doi : 10.1016/0029-554X(71)90155-8 . - .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Paxton F. Solid Angle Calculation for a Circular Disk // Review of Scientific Instruments. - 1959. - huhtikuu ( osa 30 , nro 4 ) . - s. 254-258 . - doi : 10.1063/1.1716590 . - . Arkistoitu alkuperäisestä 7. elokuuta 2017.