Lähes lajike

Kvasi -lajitelma ( latinan sanasta quas (i) "kuten", "jotain samanlaista" universaalissa algebrassa on kiinteän allekirjoituksen algebrallisten järjestelmien luokka , joka on aksiomatisoitu joukolla kvasi-identiteettiä ( Horn disjuncts ).

Toisin kuin lajikkeet , jotka ovat identiteeteillä aksiomatoituja algebrallisten järjestelmien luokkia, malliteoreettisilla menetelmillä on erityinen rooli kvasivarianttien teoriassa, kun taas lajikkeita tarkastellaan pääasiassa algebroissa (algebralliset järjestelmät ilman suhteita allekirjoituksessa) ja niitä tutkitaan yleisillä algebrallisilla menetelmillä. [1] .

Määritelmät

Algebrallisessa järjestelmässä , jossa on joukko operaatioita ja suhteita , muotoa olevia kaavoja pidetään kvasiatomisina : ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\pisteeseen A,\pisteet f_{i}:A^{n_{i}}\pisteeseen A,\pisteet \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$

$r_{i}(f_{j1}(x_{1},\pisteet ,x_{n_{j))),\pisteet ,f_{km_{i))(x_{k1},\pisteet ,x_ {n_{k}})))$ (tai suhteen merkinnässä: ), $(f_{j1}(x_{1},\pisteet x_{n_{j))),\pisteet ,f_{km_{i))(x_{k1},\pisteet ,x_{n_{k} }))\in r_{i}$
$f_{j}(x_{1},\dots ,x_{n_{j)))=f_{k}(x_{1},\pisteet ,x_{n_{k))))$ ,

jossa , , ja ovat muuttujien symboleja. (Joskus yhtäläisyys sisältyy algebrallisen järjestelmän allekirjoitukseen relaationa, jolloin ensimmäisen tyypin kaavat riittävät.) $r_i \in R$ $f_i \in F$ $x_{i}$

Kvasi -identiteetit ovat muotoa:

{\displaystyle \forall x_{1},\dots ,x_{k}\,{\big (}{\mathcal {F}}_{1}\land \dots \land {\mathcal {F}}_{ m}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{m+1}{\big )))

missä ovat kvasiatomikaavat muuttujilla . Kvasivariteetti on algebrallisten järjestelmien luokka, jonka määrittelee kvasiidentiteetit. $\mathcal F_i$ $x_1,\pisteet x_k$

Ominaisuudet

Mikä tahansa algebrallisten järjestelmien erilaisuus on näennäisvariantti johtuen siitä, että mikä tahansa identiteetti (kvasiatomikaavasta) voidaan korvata esimerkiksi sitä vastaavalla kvasi-identiteetillä [2] . $\forall x_{1},\dots ,x_{n}\,{\mathcal {F))(x_{1},\dots x_{n})$ ${\displaystyle \forall x_{1},\dots ,x_{n}\,{\big (}x_{1}=x_{1}\Rightarrow {\mathcal {F))(x_{1},\dots ,x_{n}){\iso )))$

Jos kvasimuuttuja on äärellisesti aksiomatisoitavissa, niin se on äärellisesti määriteltävissä [3] .

Identiteettialgebrallinen järjestelmä tietylle allekirjoitukselle , eli järjestelmä, jota tukee yksi elementti , niin että ja on kvasivariaatio (ja lisäksi lajike). Tietyn allekirjoituksen pienin näennäismuunnelma on variaatio, joka on annettu identiteeteillä ja koostuu yhdestä identiteettijärjestelmästä. Suurin takaallekirjoituksen näennäislajike on myös lajike, tietyn allekirjoituksen kaikkien järjestelmien luokka, jonka määrittelee identiteetti . [neljä] $\langle F, R \rangle$ $e$ $\forall(f\in F)f(e, \dots e_i, \dots)=e$ $\forall(r\in R)(e, \dots e_i, \dots) \in r$ $\forall(x,y\in A)(x=y)$ $\forall(x_1, \pisteet x_k \in A)(x_1, \dots x_k)\in r$ $\forall(x)(x=x)$

Mikä tahansa näennäinen lajike sisältää mielivaltaisen suodatetun tuotteen sen muodostavista järjestelmistä [5] .

Jotta järjestelmien luokka olisi näennäinen monisto, on välttämätöntä ja riittävää, että se on samanaikaisesti paikallisesti suljettu, moninkertaisesti suljettu (sisältää minkä tahansa järjestelmiensä karteesisen tuotteen ) ja sisältää identiteettijärjestelmän. Tämän ominaisuuden paikallinen ja moninkertainen sulkeminen voidaan vastaavasti korvata sulkemisella suodatettujen tuotteiden ja perinnöllisyyden alla[ selventää ] [6] .

Konstitutiiviset suhteet

Ilmaiset sävellykset

Kvasilajikkeiden hilat

Historia

Ensimmäisenä tuloksena kvasi-identiteettien soveltamisesta yleisalgebraan katsotaan olevan Anatoli Maltsev vuonna 1939 [7] , jossa konstruoitiin ääretön sarja kvasi-identiteettiä, joka luonnehtii ryhmiin upotettavien puoliryhmien luokkaa . Vuonna 1943 julkaistussa Chen McKinseyn 8] artikkelissa hän yhdisti jotkin algebran algoritmiset ongelmat kvasi-identiteeteihin, ja yksi Robert Dilworthin 9] olemassaolon ongelman vuonna 1945 tekemän ratkaisun tuloksista. Yksittäisten komplementtien ei-distributiiviset hilat olivat todiste siitä, että kvasilajikkeilla on vapaita järjestelmiä.

Novikovin (1955) teoreema sanan yhtäläisyysongelman ratkaisemattomuudesta ryhmissä tarkoittaa itse asiassa Hornin ryhmäteorian ratkaisemattomuutta , eli se voidaan lukea myös kvasilajikkeisiin liittyvien tulosten ansioksi.

Kvasivarianttien teorian syntyminen universaalin algebran itsenäiseksi haaraksi viittaa Maltsevin, Tabatan ja Fujiwaran töihin 1950-luvun lopulla ja 1960-luvun alussa. Maltsevin raportti kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Moskovassa vuonna 1966 , jossa muotoiltiin joitakin tärkeitä kvasivarianteihin liittyviä ongelmia, lisäsi matemaatikoiden kiinnostusta tätä alaa kohtaan [10] .

Erityinen kiinnostus kvasivarianttien teoriaa kohtaan ilmeni 1970-luvulla, jolloin Horn-logiikkaa alettiin laajalti käyttää logiikkaohjelmoinnissa ( ensisijaisesti Prolog -ohjelmointikieleen liittyvissä teoksissa ) ja tietokantateoriassa .

Muistiinpanot

↑ Gorbunov, 1999 , Peruserona on se, että algebroita tutkitaan lajikkeiden teoriassa, kun taas mielivaltaisia algebrallisia järjestelmiä tutkitaan kvasivarianttien teoriassa, s. viii.
↑ Maltsev, 1970 , s. 268.
↑ Maltsev, 1970 , s. 269-270.
↑ Maltsev, 1970 , s. 270.
↑ Maltsev, 1970 , s. 271.
↑ Maltsev, 1970 , Lause 2, Seuraus 3, s. 271-272.
↑ Maltsev A.I. Assosiatiivisten järjestelmien sisällyttämisestä ryhmiin // Matemaattinen kokoelma. - 1999. - T. 6 , nro 2 . - S. 331-336 .
↑ McKinsey J. Joidenkin lauseluokkien ratkaisuongelma, joissa ei ole quqntifiers // Journal of Symbolic Logic. - 1943. - T. 8 . - S. 61-76 .
↑ R.P. Dilworth. Hilat ainutlaatuisilla täydennyksellä // Transactions of American Mathematics Society. - 1945. - T. 56 . - S. 123-154 .
↑ Gorbunov, 1999 , s. vii-viii.

Kirjallisuus

Gorbunov V. A. Kvasilajikkeiden algebrallinen teoria. - Novosibirsk : Tieteellinen kirja, 1999. - 368 s. — (Siperian algebran ja logiikan koulu). - ISBN 5-88119-015-7 .
Aratmonov V. A.; Saliy V.N.; Skornyakov L. A.; Shevrin L. N.; Shulgeifer E. G. Universaalit algebrat // Yleinen algebra / Skornyakov L. A.:n yleisen toimituksen alla . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. – 480 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). — 25 500 kappaletta. — ISBN 5-02-014427-4 .
Maltsev AI Algebralliset järjestelmät. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17 500 kappaletta.