Klassinen menetelmä transienttien laskentaan

Menetelmän nimi "klassinen" kuvastaa sitä, että siinä käytetään vakioparametreilla varustettujen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja klassisen matematiikan menetelmillä. Tällä menetelmällä on fyysinen selkeys ja se on kätevä yksinkertaisten piirien laskemiseen (monimutkaisten piirien laskentaa yksinkertaistaa operaattorimenetelmä ).

Metodologia

Piirin transienttiprosessin laskentavaiheet klassisella menetelmällä:

Etsi itsenäiset alkuehdot , eli kapasitanssien jännitteet ja induktanssien virrat transienttiprosessin alkamishetkellä.
Seuraavaksi on tarpeen muodostaa yhtälöjärjestelmä Kirchhoffin , Ohmin , sähkömagneettisen induktion jne. lakien perusteella , joka kuvaa piirin tilaa kytkennän jälkeen, ja jättämällä pois muuttujat, saadaan yksi differentiaaliyhtälö, yleisessä tapauksessa, epähomogeeninen halutun virran tai jännitteen suhteen . Yksinkertaisille piireille saadaan ensimmäisen tai toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jossa halutuksi arvoksi valitaan joko induktiivisen elementin virta tai kapasitiivisen elementin jännite. $i$ $u$
Seuraavaksi saadun piirin epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu tulee koota epähomogeenisen differentiaaliyhtälön tietyn ratkaisun ja vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön yleisen ratkaisun summana.
Lopuksi yleisessä ratkaisussa pitäisi löytää integroinnin vakiot alkuehdoista eli olosuhteista piirissä alkuhetkellä kytkennän jälkeen.

Mitä tulee sähköpiireihin, erityinen ratkaisu epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön, vakaa tila tarkasteltavana olevassa piirissä (jos sellainen on), eli tasavirrat ja jännitteet, jos jatkuvan EMF:n ja virtojen lähteet vaikuttavat piirissä , tai sinimuotoiset jännitteet ja virrat lähteiden sinimuotoisten EMF- ja virtojen vaikutuksesta. Vakaan tilan virtoja ja jännitteitä kutsutaan vakaaksi tilaksi .

Homogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu kuvaa prosessia piirissä ilman EMF- ja virranlähteitä, jota siksi kutsutaan vapaaksi prosessiksi . Vapaan prosessin virtoja ja jännitteitä kutsutaan vapaiksi ja niiden lausekkeiden tulee sisältää integrointivakiot, joiden lukumäärä on yhtä suuri kuin homogeenisen yhtälön kertaluku.

Esimerkki yksinkertaisimman transienttiprosessin laskemisesta klassisella menetelmällä

Haaste

Kuvassa on kytketty RL - piiri . Jossain vaiheessa t=0 avain K sulkeutuu. Määritä RL-piirin virran riippuvuus ajasta.

Ratkaisu

Kirchhoffin toisen lain mukaan piiri kuvataan seuraavalla differentiaaliyhtälöllä:

U=iR+L{\frac {di}{dt}},

jossa ensimmäinen termi kuvaa jännitehäviötä vastuksen R yli ja toinen termi kuvaa jännitehäviötä kelan L yli.

Teemme muuttujan muutoksen ja tuomme yhtälön muotoon: $i=ab$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Koska yksi tekijöistä a, b voidaan valita mielivaltaisesti, valitsemme b niin, että suluissa oleva lauseke on yhtä suuri kuin nolla:

Rb+Lb'=0.

Erottelevat muuttujat:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac {R}{L}}t}.

Ottaen huomioon b:n valitun arvon differentiaaliyhtälö pelkistetään muotoon

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integroimalla saamme

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Saamme lausekkeen virralle

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\oikea)\cdot e^{-{\frac {R }{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

Integrointivakion arvo saadaan ehdosta, että hetkellä t=0 piirissä ei ollut virtaa:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

Lopulta saamme

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\oikea).

Katso myös

Transienttiprosessit sähköpiireissä

Kirjallisuus

Sähkötekniikka: Proc. yliopistoille / A. S. Kasatkin, M. V. Nemtsov. - 7. painos, Sr. - M .: Korkeampi. koulu, 2003. - 542 s.: ill. ISBN 5-06-003595-6

Linkit

Klassinen menetelmä transientien laskentaan _ _ _ _ _
Menetelmät ja esimerkkejä transienttiprosessien laskemisesta klassisella menetelmällä. Arkistoitu 4. lokakuuta 2006 Wayback Machinessa osoitteessa http://www.ups-info.ru Arkistoitu 14. kesäkuuta 2008 Wayback Machinessa

Sähköpiirien laskentamenetelmät
Kirchhoffin sääntöjen suora soveltaminen silmukkavirrat solmupotentiaalit kaksi solmua hyytymistä Cauera vastaava generaattori päällekkäiset peittokuvat monimutkaiset amplitudit osiot piirin määräävät tekijät klassista operaattori