Kirchhoffin lakien suora soveltamismenetelmä

Kirchhoffin sääntöjen suora soveltamismenetelmä sähköpiirin laskemiseen koostuu B-yhtälöjärjestelmän laatimisesta, jossa on B tuntemattomia (B on tarkasteltavan piirin haarojen lukumäärä) kahden Kirchhoffin säännön ja niiden myöhemmän ratkaisun mukaisesti.

Laskentamenetelmän kuvaus

Harkitse sähköpiirin laskentaa , joka ei sisällä virtalähteitä . Kyseinen ketju koostuu B - haaroista ja Y - solmuista. Sen laskenta rajoittuu virtojen löytämiseen B - haaroista. Tätä varten on tarpeen muodostaa ( Y - 1) itsenäiset yhtälöt ensimmäisen Kirchhoff-säännön mukaisesti ja K \u003d ( B - Y + 1) riippumattomat yhtälöt toisen Kirchhoff-säännön mukaan . Näitä yhtälöitä vastaavia solmuja ja ääriviivoja kutsutaan riippumattomiksi (eli sisältävät vähintään yhden haaran, joka ei kuulu muihin solmuihin/ääriviivoihin).

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi voit käyttää matriisimuotoa

AI=BE

missä

A

ja ovat neliömatriiseja kertoimista virroilla ja EMF:llä luokkaa B ;

B

minä

ja ovat tuntemattomien virtojen ja annettujen EMF:n sarakematriiseja.

E

Järjestelmäratkaisu:

I=A^{-1}BE=GE

$A^{{-1}}$	$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cpisteet &a_{1B}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2B}\\\vpisteet &\vpisteet & \ddots &\vdots \\a_{B1}&a_{B2}&\cdots &a_{BB}\end{bmatrix}}^{-1}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{12}&\cdots &\Delta _{1B}\\\Delta _{ 21}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{B1}&\Delta _{B2}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}^{T}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{B1}\\\Delta _{ 12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{B2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1B}&\Delta _{2B}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}$

- käänteinen matriisi; on matriisin A determinantti ; - elementtien algebralliset komplementit (katso tapoja löytää käänteismatriisi ). $\Delta$ $\Delta _{ik}$ $a_{{ik}}$

G=A^{-1}B={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&\cdots &g_{1B}\\g_{21}&g_{22}&\cdots &g_{2B }\\\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\g_{B1}&g_{B2}&\cdots &g_{BB}\end{bmatrix}}

on sisäisen ja keskinäisen johtavuuden matriisi (katso superpositiomenetelmä ). ${\displaystyle g_{ii))$ $g_{{ik}}$

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+\cdots +g_{1B}E_{B};\\ I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+\cdots +g_{2B}E_{B};\\\vpisteet \\I_{B}=g_{B1} E_{1}+g_{B2}E_{2}+\cdots +g_{BB}E_{B};\end{matrix}}\right.

on yhtälöjärjestelmä, joka määrittää haaravirrat.

Usein, kun lasketaan piirejä tällä menetelmällä, on välttämätöntä laatia suuri määrä yhtälöitä ja laskea sitten korkean asteen matriiseja. Siksi käytännössä käytetään muita laskentamenetelmiä.

Esimerkki

Harkitse esimerkkinä piirin laskentaa, jonka kaavio on esitetty kuvassa - se sisältää U \u003d 2 solmua ja B \u003d 3 haaraa, eli K \u003d B - Y + 1 \u003d 3 - 2 + 1 \u003d 2 itsenäistä ääriviivaa (kuvassa ääriviivat on merkitty katkoviivalla - voit valita niistä minkä tahansa parin - 1 ja 2 tai 2 ja 3 tai 1 ja 3 ).

Valitsemme mielivaltaisesti haaravirtojen positiiviset suunnat , , (suunnat on jo merkitty kuvaan). Ensimmäisen Kirchhoffin lain mukaan esimerkiksi solmulle a voidaan muodostaa yksi ( Y − 1 = 2 − 1 = 1 ) riippumaton yhtälö. $I_1$ $minä_{2}$ $I_3$

-I_{1}-I_{2}+I_{3}=0

ja toisen Kirchhoffin lain mukaan - kaksi (K = 2) riippumatonta yhtälöä esimerkiksi piireille 1 ja 2

{\displaystyle r_{1}I_{1}+r_{3}I_{3}=E_{1}+E_{2))

;

{\displaystyle r_{2}I_{2}+r_{3}I_{3}=E_{2}+E_{3))

Esitetään näiden kolmen yhtälön järjestelmä matriisimuodossa:

{\begin{matrix}Y-1&\left\{~\right.\\K&\left\{{\begin{matrix}~\\~\end{matrix}}\right.\end{matrix }}{\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_ {2}\\I_{3}\end{bmatrix}}=AI={\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_ {2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=BE

tai

${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}$	$={\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{-(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))){\begin{bmatrix}- r_ {2}r_{3}&-r_{1}r_{3}&r_{1}r_{2}\\-(r_{2}+r_{3})&r_{3}&-r_{2} \ \r_{3}&-(r_{1}+r_{3})&-r_{1}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end { bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}r_{3}&r_{2}+r_{3}&-r_{3}\\r_ {1}r_{3}&-r_{3}&r_{1}+r_{3}\\-r_{1}r_{2}&r_{2}&r_{1}\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}+r_{3}&-r_{3}&r_{2}\\-r_{3} &r_{1}+r_{3}&r_{1}\\r_{2}&r_{1}&r_{1}+r_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\ E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=[G][E].$

Nyt muodostamme nykyisen yhtälöjärjestelmän:

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+g_{13}E_{3};\\I_{2 }=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+g_{23}E_{3};\\I_{3}=g_{31}E_{1}+g_{32}E_ {2}+g_{33}E_{3},\end{matrix}}\right.

missä

g_{11}=(r_{2}+r_{3})/r^{2}

;

{\displaystyle g_{22}=(r_{1}+r_{3})/r^{2))

;

g_{33}=(r_{1}+r_{2})/r^{2}

;

{\displaystyle g_{12}=g_{21}=-r_{3}/r^{2))

;

{\displaystyle g_{13}=g_{31}=r_{2}/r^{2))

;

{\displaystyle g_{23}=g_{32}=r_{1}/r^{2))

;

{\displaystyle r={\sqrt {r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))

Piirien laskenta virtalähteillä

Laskettaessa vastaavia piirejä virtalähteillä , yksinkertaistukset ovat mahdollisia, koska virtalähteiden haarojen virrat tunnetaan, eikä niitä tarvitse laskea. Siksi riippumattomien piirien määrä (ilman virtalähteitä), joille on tarpeen muodostaa yhtälöt toisen Kirchhoffin lain mukaisesti, on yhtä suuri kuin K \u003d (B - B - Y + 1), jossa B on haarat nykyisten lähteiden kanssa. ${\näyttötyyli _{J}}$ ${\näyttötyyli _{J}}$

Kirjallisuus

Sähkötekniikka: Proc. yliopistoille / A. S. Kasatkin, M. V. Nemtsov. - 7. painos, Sr. - M .: Korkeampi. koulu, 2003. - 542 s.: ill. ISBN 5-06-003595-6

Sähköpiirien laskentamenetelmät
Kirchhoffin sääntöjen suora soveltaminen silmukkavirrat solmupotentiaalit kaksi solmua hyytymistä Cauera vastaava generaattori päällekkäiset peittokuvat monimutkaiset amplitudit osiot piirin määräävät tekijät klassista operaattori