Solmupotentiaalimenetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8.9.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Solmupotentiaalien menetelmä on muodollinen menetelmä sähköisten piirien laskemiseen kirjoittamalla lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä , jossa piirin solmujen potentiaalit ovat tuntemattomia . Menetelmän soveltamisen tuloksena määritetään potentiaalit piirin kaikissa solmuissa sekä tarvittaessa virran voimakkuus kaikissa reunoissa (haaroissa).

Johdanto

Usein välttämätön vaihe erilaisten sähkötekniikan ja elektroniikan ongelmien ratkaisemisessa on sähköpiirin laskenta . Tämä termi viittaa prosessiin, jossa hankitaan täydelliset tiedot jännitteistä kaikissa solmuissa ja virroista tietyn sähköpiirin kaikissa reunoissa. Lineaarisen piirin laskemiseksi riittää kirjoittaa tarvittava määrä yhtälöitä, jotka perustuvat Kirchhoffin sääntöihin ja Ohmin lakiin , ja sitten ratkaista tuloksena oleva yhtälöjärjestelmä.

Käytännössä yhtälöjärjestelmä on kuitenkin mahdollista kirjoittaa yksinkertaisesti piirikaavion muodossa vain hyvin yksinkertaisille piireille. Jos piirissä on yli tusina elementtiä tai se sisältää monia toisiinsa liittyviä ääriviivoja (osia, kuten siltoja ), niin yhtälöjärjestelmän piiriä määrittävälle tietueelle tarvitaan jo erikoistekniikoita. Nämä tekniikat sisältävät solmupotentiaalien menetelmän ja silmukkavirtojen menetelmän .

Solmupotentiaalien menetelmä ei tuo mitään uutta Kirchhoffin sääntöihin ja Ohmin lakiin. Tämä menetelmä vain formalisoi niiden käytön siten, että niitä voidaan soveltaa mihin tahansa mielivaltaisen monimutkaiseen piiriin ja soveltuu laskemiseen tietokoneella suoritettavien laskelmien avulla. Toisin sanoen menetelmä antaa vastauksen kysymykseen " Kuinka käyttää lakeja tämän piirin laskemiseen? ".

Teoreettiset perusteet

Jos piirissä, joka koostuu Y - solmuista ja P -reunoista, kaikki linkkien ominaisuudet tunnetaan (impedanssit R , EMF-lähteiden E ja virran J suuruus ), niin on mahdollista laskea virrat I i kaikissa reunoissa ja potentiaalit φ i kaikissa solmuissa. Koska sähköpotentiaali on määritelty mielivaltaiseen vakiotermiin asti, yhden solmun (kutsutaanko sitä perussolmuksi) potentiaali voidaan pitää nollaksi ja muiden solmujen potentiaalit voidaan määrittää suhteessa perussolmuun. . Näin ollen piiriä laskettaessa meillä on Y + P -1 tuntematon muuttuja: Y -1 solmupotentiaalit ja P -virrat ripoissa.

Kaikki nämä muuttujat eivät ole riippumattomia. Esimerkiksi piiriosuuden Ohmin lain perusteella linkkien virrat määräytyvät täysin solmujen potentiaalien mukaan:

I_{i}={\frac {\varphi _{A}-\varphi _{B}+E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}.

Toisaalta ripojen virrat määrittävät yksiselitteisesti potentiaalin jakautumisen solmuissa suhteessa perussolmuun:

\varphi _{B}=\varphi _{A}+E_{i}+(J_{i}-I_{i})R_{i}.

Siten riippumattomien muuttujien vähimmäismäärä ketjuyhtälöissä on joko linkkien lukumäärä tai solmujen lukumäärä miinus 1 sen mukaan, kumpi on pienempi.

Piirejä laskettaessa käytetään useimmiten yhtälöitä, jotka on kirjoitettu Kirchhoffin sääntöjen perusteella. Järjestelmä koostuu Y -1 yhtälöistä 1. Kirchhoff-säännön mukaisesti (kaikille solmuille paitsi perussolmulle) ja K yhtälöistä 2. Kirchhoff-säännön mukaisesti kullekin riippumattomalle piirille. Kirchhoffin sääntöjen mukaan laadittujen yhtälöiden riippumattomat muuttujat ovat linkkivirtoja. Koska tasograafin Eulerin kaavan mukaan solmujen, reunojen ja riippumattomien ääriviivojen lukumäärä liittyy suhteeseen

Y-P+K=1,

tai

P=Y+K-1,

silloin Kirchhoffin sääntöjen mukaan koottujen yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä, ja järjestelmä on ratkaistava. Yhtälöiden lukumäärä Kirchhoff-järjestelmässä on kuitenkin tarpeeton. Yksi menetelmistä yhtälöiden lukumäärän vähentämiseksi on solmupotentiaalien menetelmä. Yhtälöjärjestelmän muuttujat ovat Y -1 solmupotentiaalia. Yhtälöt kirjoitetaan kaikille solmuille perussolmua lukuun ottamatta. Järjestelmässä ei ole yhtälöitä ääriviivalle.

Potentiaalin yhtälö solmuina

Tarkastellaan ketjun fragmenttia, joka koostuu solmusta ja sen viereisistä linkeistä (kuva 1). Ensimmäisen Kirchhoff-säännön mukaan solmun virtojen summa on nolla:

\sum _{i=1}^{n}I_{i}=0.

Linkin virta määräytyy piiriosan Ohmin lain perusteella:

I_{i}={\frac {\varphi _{i}-\varphi +E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}

missä:

\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\varphi _{i}-\varphi +E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}\ oikea)=0;

\varphi \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i))}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\varphi _ {i}}{R_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}\oikea ).

Ilmoittaa reunojen johtavuudet läpi

{\displaystyle Y_{i}={\frac {1}{R_{i))))

saamme solmun lopullisen yhtälön:

\varphi \sum _{i=1}^{n}Y_{i}-\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}Y_{i}=\sum _{i =1}^{n}(E_{i}Y_{i}+J_{i}).

Viimeinen yhtälö on saatu olettaen, että kaikki virtalähteet ja EMF on suunnattu tarkasteltavana olevaan solmuun. Jos jokin lähde on suunnattu vastakkaiseen suuntaan, sen EMF tai virta on otettava päinvastaisella merkillä.

Kun olet kirjoittanut viimeisen yhtälön ketjun jokaiselle solmulle perussolmua lukuun ottamatta, saamme yhtälöjärjestelmän solmupotentiaalille.

Käytännön sovellus

Yhtälöjärjestelmän laatiminen

Ennen laskennan aloittamista valitaan yksi solmuista (perussolmu), jonka potentiaalin katsotaan olevan 0. Sitten solmut numeroidaan, minkä jälkeen laaditaan yhtälöjärjestelmä .

Yhtälöt laaditaan jokaiselle solmulle perussolmua lukuun ottamatta. Tasa-arvon vasemmalla puolella on kirjoitettu:

tarkasteltavan solmun potentiaali kerrottuna sen viereisten reunojen johtavuuksien summalla (virtalähteitä sisältävien reunojen johtavuuksia pidetään nollana eikä niitä oteta huomioon);
miinus tietyn solmun vieressä olevien solmujen potentiaalit kerrottuna annettuun solmuun yhdistävien reunojen johtavuudella. Jos solmu on yhdistetty tähän solmuun reunalla, joka sisältää virtalähteen, tätä solmua ei oteta huomioon.

Tasa-arvon oikealla puolella on kirjoitettu:

kaikkien tämän solmun vieressä olevien virtalähteiden summa;
kaikkien tietyn solmun vieressä olevien EMF:ien tulojen ja vastaavan linkin johtavuuden summa.

Jos lähde on suunnattu tarkasteltavaan solmuun, se kirjoitetaan merkillä "+", muuten - merkillä "-". Älä unohda, että ihanteellisen sarjaan kytketyn virtalähteen linkin johtavuus on 0.

Esimerkki yhtälöjärjestelmästä

Kaaviossa on neljä solmua (kuva 2). Potentiaalin solmussa 0 oletetaan olevan nolla (φ 0 = 0). Kirjoitamme yhtälöt solmuille 1, 2 ja 3:

${\begin{cases}\varphi _{1}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})+\varphi _{2}(-Y_{1})+\varphi _{ 3}(-Y_{6})=E_{6}Y_{6}-E_{4}Y_{4}\\\varphi _{1}(-Y_{1})+\varphi _{2}( Y_{1}+Y_{2}+Y_{3})+\varphi _{3}(-Y_{3})=0\\\varphi _{1}(-Y_{6})+\varphi _ {2}(-Y_{3})+\varphi _{3}(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})=J_{5}-E_{6}Y_{6}\end{ tapaukset}},$

jossa reunojen johtavuudet ovat yhtä suuret:

Y_{1}={\frac {1}{R_{1}}};\quad Y_{2}={\frac {1}{R_{2}}};\quad Y_{3}= {\frac {1}{R_{3}}};

Y_{4}={\frac {1}{R_{4}}};\quad Y_{5}={\frac {1}{R_{5}}};\quad Y_{6}= {\frac {1}{R_{6}}}.

Muodollinen lähestymistapa

Matriisimuodossa solmupotentiaalien menetelmän yhtälöjärjestelmä näyttää tältä [1] :

\mathbf {AYA^{t}U_{0}=-A(J+YE)}

missä

${\mathbf A}$ on yhteysmatriisi, jonka koko on ( q - 1) × p ( q on solmujen lukumäärä, p on reunojen lukumäärä), jossa i - rivi vastaa solmua i ja j - sarake vastaa reuna j ja elementti A ij on yhtä suuri kuin:

0, jos reuna j ei ole yhteydessä solmuun i ;
1, jos reuna lähtee solmusta;
−1, jos reuna tulee solmuun.

Termit "sisään" ja "ulos" tarkoittavat, että kullekin reunalle on annettu suunta, joka yleensä liittyy kyseisen reunan virran suuntaan;

$\mathbf Y$ on p × p diagonaalinen johtavuuksien matriisi , jossa diagonaalinen elementti Y ii on yhtä suuri kuin i: nnen reunan johtavuus ja diagonaalista poikkeavat elementit ovat nolla;

${\displaystyle \mathbf {A} ^{t))$ on transponoitu yhteyksien matriisi;

${\displaystyle \mathbf {U} _{0))$ on solmupotentiaalien matriisisarake, jonka koko on ( q - 1) × 1. Potentiaalit mitataan suhteessa ennalta valittuun solmuun, jonka potentiaalin katsotaan olevan nolla. Nollasolmu ei sisälly mihinkään tässä osiossa luetelluista matriiseista;

$\mathbf {J}$ on p × 1 -sarakematriisi virtalähteistä , jossa jokainen elementti on yhtä suuri kuin vastaavan lähteen virta, ja tämä arvo on nolla, jos tässä reunassa ei ole virtalähdettä; positiivinen, jos lähdevirran suunta on sama kuin reunan virran suunta; ja muuten negatiivinen;

$\mathbf {E}$ on sarakematriisi EMF-lähteistä, joiden koko on p × 1, jossa jokainen elementti on yhtä suuri kuin vastaavan lähteen EMF, ja tämä arvo on nolla, jos tässä reunassa ei ole EMF-lähdettä; positiivinen, jos lähteen EMF:n suunta on sama kuin virran suunta kylkiluudessa; ja muuten negatiivinen.

Esimerkki yhtälöjärjestelmästä

Kuvan kaaviolle. 2 matriisia näyttää tältä:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1&0&-1\\-1&1&1&0&0&0\\0&0&-1&0&-1&1\end{pmatrix));\quad \mathbf {U} _{0}={\ begin{pmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} ^{t}={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&1&-1\\1&0&0\\0&0&-1\\-1&0&1\\\end{pmatrix)) ;\quad \mathbf {Y} ={\alkaa 0&0&0&0&0&Y_{6}\\\end{pmatrix));\quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\J_{5}\\0\end{pmatriisi ));\quad \mathbf {E} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\0\\E_{6}\end{pmatrix}}$

Kerromme matriisit matriisiyhtälön mukaisesti:

$\mathbf {AY} ={\begin{pmatrix}Y_{1}&0&0&Y_{4}&0&-Y_{6}\\-Y_{1}&Y_{2}&Y_{3}&0&0&0\\0&0&-Y_ {3}&0&-Y_{5}&Y_{6}\end{pmatrix}};$

$\mathbf {AYA^{t)) ={\begin{pmatrix}Y_{1}+Y_{4}+Y_{6}&-Y_{1}&-Y_{6}\\-Y_{ 1}&Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}&-Y_{3}\\-Y_{6}&-Y_{3}&Y_{3}+Y_{5}+Y_{6}\ end{pmatrix}};$

$\mathbf {AYA^{t}U_{0}}={\begin{pmatrix}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})\cdot \varphi _{1}-Y_{ 1}\cdot \varphi _{2}-Y_{6}\cdot \varphi _{3}\\-Y_{1}\cdot \varphi _{1}+(Y_{1}+Y_{2}+ Y_{3})\cdot \varphi _{2}-Y_{3}\cdot \varphi _{3}\\-Y_{6}\cdot \varphi _{1}-Y_{3}\cdot \varphi _{2}+(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})\cdot \varphi _{3}\end{pmatrix}};$

$\mathbf {J+YE} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\Y_{4}E_{4}\\J_{5}\\Y_{6}E_{6} \end{pmatrix));\quad \mathbf {-A(J+YE)} ={\begin{pmatrix}-Y_{4}E_{4}+Y_{6}E_{6}\\0\\ J_{5}-Y_{6}E_{6}\end{pmatrix}}$

Laajentamalla matriisimerkintää, saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän:

${\begin{cases}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})\cdot \varphi _{1}-Y_{1}\cdot \varphi _{2}-Y_{6 }\cdot \varphi _{3}=-E_{4}Y_{4}+E_{6}Y_{6}\\-Y_{1}\cdot \varphi _{1}+(Y_{1}+ Y_{2}+Y_{3})\cdot \varphi _{2}-Y_{3}\cdot \varphi _{3}=0\\-Y_{6}\cdot \varphi _{1}-Y_ {3}\cdot \varphi _{2}+(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})\cdot \varphi _{3}=J_{5}-E_{6}Y_{6} \end{cases}}$

Rajoitukset

Solmupotentiaalimenetelmää sovelletaan ekvivalenttipiiriin , joten samat rajoitukset ovat voimassa kuin vastaavien piirien sovellettavuus. Jos alun perin annetaan todellinen piiri, on sille laadittava vastaava piiri ja suoritettava sen kanssa lisälaskelmia. Näin ollen piiri, johon solmupotentiaalimenetelmää sovelletaan, ei sisällä mitään todellista[ selventää ] elementtejä ( transistorit , diodit , lamput , galvaaniset kennot , passiiviset elementit loisparametreilla jne.).

Muistiinpanot

↑ Neiman L. R., Demirchyan K. S. Sähkötekniikan teoreettiset perusteet: 2 nidettä Oppikirja yliopistoille. Osa I. - 3. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä - L .: Energoizdat. Leningrad. osasto, 1981. - 536 s., ill.

Katso myös

Sähköpiirien laskentamenetelmät
Kirchhoffin sääntöjen suora soveltaminen silmukkavirrat solmupotentiaalit kaksi solmua hyytymistä Cauera vastaava generaattori päällekkäiset peittokuvat monimutkaiset amplitudit osiot piirin määräävät tekijät klassista operaattori